Решение уравнения теплопроводности цилиндрические координаты. Уравнения теплопроводности в системах координат. Контрольные вопросы и задания

Решение задач по определению температурного поля осуществляется на основании дифференциального уравнения теплопроводности, выводы которого показаны в специальной литературе. В данном пособии приводятся варианты дифференциальных уравнений без выводов.

При решении задач теплопроводности в движущихся жидкостях, характеризующих нестационарное трехмерное температурное поле с внутренними источниками теплоты, используется уравнение

Уравнение (4.10) является дифференциальным уравнением энергии в декартовой системе координат (уравнение Фурье  Кирхгофа). В таком виде оно применяется при изучении процесса теплопроводности в любых телах.

Если  x = y = z =0, т. е. рассматривается твердое тело, и при отсутствии внутренних источников теплоты q v =0, тогда уравнение энергии (4.10) переходит в уравнение теплопроводности для твердых тел (уравнение Фурье)

(4.11)

Величину С=a, м 2 сек в уравнении (4.10) называют коэффициентом температуропроводности, который является физическим параметром вещества, характеризующим скорость изменения температуры в теле при неустановившихся процессах.

Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств тела. Из уравнения (4.10) следует, что изменение температуры во времени t для любой точки пространства пропорционально величине «а», т. е. скорость изменения температуры в любой точке тела будет тем больше, чем больше коэффициент температу-ропроводности. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности. Коэффициент температуропроводности зависит от природы вещества. Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом температуропроводности. Металлы обладают малой тепловой инерционностью, так как они имеют большой коэффициент температуропроводности.

Для обозначения суммы вторых производных по координатам в уравнениях (4.10) и (4.11) можно использовать символ  2 , так называемый оператор Лапласа, и тогда в декартовой системе координат

Выражение  2 t в цилиндрической системе координат имеет вид

Для твердого тела в стационарных условиях с внутренним источником теплоты уравнение (4.10) преобразуется в уравнение Пуассона

(4.12)

Наконец, для стационарной теплопроводности и при отсутствии внутренних источников теплоты уравнение (4.10) принимает вид уравнения Лапласа

(4.13)

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах с внутренним источником теплоты

(4.14)

4.2.6. Условия однозначности для процессов теплопроводности

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе общих законов физики, то оно характеризует явление теплопроводности в самом общем виде. Поэтому можно сказать, что полученное дифференциальное уравнение характеризует целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми, которые включают в себя:

а) геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс;

б) физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела (, С z , , а и др.);

в) временные (начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени;

г) граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальное условие аналитически может быть записано следующим образом при =0:

t =  1 x, y, z. (4.15)

В случае равномерного распределения температуры в теле начальное условие упрощается: при =0; t=t 0 =idem.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

А. Граничные условия первого рода, задающие распределение температуры на поверхности тела t c для каждого момента времени:

t c =  2 x, y, z, . (4.16)

В частном случае, когда температура на поверхности является постоянной на протяжении всего времени протекания процессов теплообмена, уравнение (4.16) упрощается и принимает вид t c =idem.

Б. Граничные условия второго рода, задающие величину плотности теплового потока для каждой точки поверхности и любого момента времени. Аналитически это можно представить следующим образом:

q n = x, y, z, , (4.17)

где q n  плотность теплового потока на поверхности тела.

В простейшем случае плотность теплового потока по поверхности и во времени остается постоянной q n =idem. Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании различных металлических изделий в высокотемпературных печах.

В. Граничные условия третьего рода, задающие температуру окружающей среды t ж и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона.

Согласно закону Ньютона, количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур тела t c и окружающей среды t ж

q = t c  t ж . (4.18)

Коэффициент теплоотдачи харктеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи (4.18), должно равняться теплоте, подводимой к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела (4.7), т. е.

, (4.19)

где n  нормаль к поверхности тела; индекс «С» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела (при n=0).

Окончательно граничное условие третьего рода можно записать в виде

. (4.20)

Уравнение (4.20), по существу, является частным выражением закона сохранения энергии для поверхности тела.

Г. Граничные условия четвертого рода, харктеризующие условия теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности. Предполагается, что между телами осуществляется идеальный контакт (температуры соприкасающихся поверхностей одинаковы). В рассматриваемых условиях имеет место равенство тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения:

. (4.21)

Вопрос 23 чему равна удельная теплота плавления льда

Удельная теплота плавления находится по формуле:

где Q – это количество теплоты, необходимое для того, чтобы расплавить тело массой m.

при отвердевании вещества выделяют такое же количество тепла, которое требовалось затратить на их расплавление. Молекулы, теряя энергию, образуют кристаллы, будучи не в силах сопротивляться притяжению других молекул. И опять-таки, температура тела не будет понижаться вплоть до того момента, пока не отвердеет все тело, и пока не выделится вся энергия, которая была затрачена на его плавление. То есть удельная теплота плавления показывает, как сколько надо затратить энергии, чтобы расплавить тело массой m, так и сколько энергии выделится при отвердевании данного тела.

Для примера, удельная теплота плавления воды в твердом состоянии, то есть, Удельная теплота плавления льда равна 3,4*10^5 Дж/кг

Удельная теплота плавления льда равна 3,4 умножить на 10 в 5 степени джоуль/кг

Обозначают удельную теплоту плавления греческой буквой λ (лямбда), а единицей измерения является 1 Дж/кг

Вопрос 24 Обозначим L1 – удельную теплоту парообразования, L2 – удельную теплоту плавления. Что больше?

Поскольку при парообразовании тело получает энергию, можно сделать вывод, что внутренняя энергия тела в газообразном состоянии больше, чем внутренняя энергия тела той же массы в жидком состоянии. Поэтому, при конденсации пар отдаёт то количество энергии, которое потребовалось для его образования

Удельная теплота парообразования – физическая величина, показывающая количество теплоты, требуемое для превращения в пар 1 кг вещества без изменения его температуры. Коэффициенты «r

Удельная теплота плавления – физическая величина, показывающая количество теплоты, требуемое для превращения в жидкость 1 кг вещества без изменения его температуры. Коэффициенты «λ » для различных веществ, как правило, различны. Они измерены опытным путём и занесены в специальные таблицы

Удельная теплота парообразования больше

Вопрос 25 дифференциальное уравнение теплопроводности для двумерного нестационарного температурного поля в декартовых координатах?

х i = x, y, z – декартовая система координат;

Если вдоль одной из координат температура остается постоянной, то математически это условие записывается (например, для координаты z) следующим образом: дТ/дz=0.

В этом случае поле называется двумерным и записывается:

для нестационарного режима Т=Т(х, у, t);

для стационарного режима Т=Т(х, у).

Уравнения двухмерного температурного поля для режима

нестационарного:

Вопрос 26 дифференциальное уравнение теплопроводности для нестационарного температурного поля в цилиндрических координатах?

х i = r, φ, z – цилиндрическая система координат;

Температурное поле есть совокупность значений температуры во всех точках данной расчетной области и во времени.

Температурное поле измеряют в градусах Цельсия и Кельвинах и обозначают также как и в ТТД: ,где х i - координаты точки в пространстве, в которой находят температуру, в метрах [м]; τ – время процесса теплообмена в секундах, [с]. Т. о. температурное поле характеризуется количеством координат и своим поведением во времени.

В тепловых расчетах используют следующие системы координат:

х i = r, φ, z – цилиндрическая система координат;

Температурное поле, которое изменяетсяво времени , называют нестационарным температурным полем. И наоборот, температурное поле, которое не изменяетсяво времени , называют стационарным температурным полем.

цилиндрических координатах (г – радиус; φ – полярный угол; z – аппликата) дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

,

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

Постановка задач ТМО

Имеем объем, на который воздействуют тепловые нагрузки необходимо определить численное значение q V и распределение ее по объему.

Рис.2-Внешние и внутренние источники трения

1. Определить геометрию исследуемого объема в любой выбранной системе координат.

2. Определить физические характеристики исследуемого объема.

3. Определить условия, инициирующие процесс ТМО.

4. Уточнить законы, определяющие перенос тепла в исследуемом объеме.

5. Определить начальное тепловое состояние в исследуемом объеме.

Задачи, решаемые при анализе ТМО:

1.«Прямые» задачи ТМО

Дано: 1,2,3,4,5

Определить: распределение температур в пространстве и во времени (далее 6).

2.«Обратные» задачи ТМО (инверсные):

а) обратные граничные задачи

Дано: 1,2,4,5,6

Определить: 3;

б) обратные коэффициенты задачи

Дано: 1,3,4,5,6

Определить: 2;

в) обратная ретроспективная задача

Дано: 1,2,3,4,6

Определить: 5.

3.«Индуктивные» задачи ТМО

Дано: 1,2,3,5,6

Определить: 4.

ФОРМЫ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА И ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

Различают 3 формы переноса тепла:

1) теплопроводность в твердых телах (определяется микрочастицами, а в металлах свободными электронами);

2) конвекция (определяется макрочастицами подвижной среды);

3) тепловое излучение (определяется электромагнитными волнами).

Теплопроводность твердых тел

Общие понятия

Поле температур – это совокупность значений температуры в исследуемом объеме, взятая в некоторый момент времени.

t(x, y, z, τ) - функция, определяющая поле температур.

Различают стационарное и нестационарное поле температур:

стационарное - t(x,y,z);

нестационарное - t(x, y, z, τ) .

Условием стационарности является:

Возьмем некое тело и соединим точки с равными температурами

Рис.3-Градиент температур и тепловой поток

grad t - градиент температуры;

с другой стороны: .

Закон Фурье ‑ тепловой поток в твердых телах пропорционален градиенту температуры, поверхности, через которую он проходит и рассматриваемому интервалу времени.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом теплопроводности λ , Вт/м·К.

показывает, что тепло распространяется в направлении, противоположном вектору градиента температур.

;

Для бесконечно малой поверхности и промежутка времени:

Уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)

Рассмотрим бесконечно малый объем: dv =dx ·dy ·dz

Рис.4-Тепловое состояние бесконечно малого объёма

Имеем ряд Тейлора:

Аналогично:

; ; .

В общем случае имеем в кубике q V . В основе вывода лежит обобщенный закон сохранения энергии:

.

В соответствии с законом Фурье:

; ; .

После преобразований имеем:

.

Для стационарного процесса:

Пространственная мерность задач определяется количеством направлений, в которых происходит перенос тепла.

Одномерная задача: ;

для стационарного процесса: ;

для :

для : ;

a - коэффициент температуропроводности, .декартова система;

k = 1 , ξ = x - цилиндрическая система;

k = 2 , ξ = x - сферическая система.

Условия однозначности

Условие однозначности – это условия, позволяющее выделить из множества допустимых решений одно-единственное, соответствующее поставленной задаче.

Изучение любого физического процесса связано с установле­нием зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача тепла теплопроводностью, при установлении зависимости между величинами удобно воспользоваться методами математической фи­зики, которая рассматривает протекание процесса не во всем изу­чаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени . Связь между величинами, участ­вующими в передаче тепла теплопроводностью, устанавливается в этом случае так называемым дифференциальным уравнением теп­лопроводности . В пределах выбранного элементарного объема и бес­конечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величии, характеризующих процесс.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения: физические величины λ, с р и ρ постоянны; внутренние источники тепла отсутствуют; тело одно­родно и изотропно; используется закон сохранения энергии, ко­торый для данного случая формулируется следующим образом: разность между количеством тепла, вошедшим вследствие тепло­проводности в элементарный параллелепипед за время dτ и вышед­шим из него за то же время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема. В результате приходим к уравнению:

Величину называют оператором Лапласа и обычно обозначают сокращенно 2 t (знак читается «набла»); величину λ /cρ называют коэффициентом температуропроводности и обозначают буквой а. При указанных обозначениях дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид

Уравнение (1-10) называется дифференциальным уравнением теплопроводности, или уравнением Фурье, для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников тепла. Оно является основным уравнением при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты тепло­проводностью и устанавливает связь между временным и пространст­венным изменениями температуры в любой точке поля.

Коэффициент температуропроводности а = λ/cρ является физическим параметром вещества и имеет единицу измерения м 2 /c. В нестационарных тепловых процессах величина а характеризует скорость изменения температуры. Если коэффициент теплопроводностихарактеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности а есть мера теплоинерционных свойств тел. Из уравнения (1-10) следует, что изменение температуры во времени ∂t / ∂τ для любой точки тела пропорционально величине а .Поэтому, при одинаковых условиях быстрее увеличится температура у того тела, которое имеет больший коэффициент температуропроводности. Газы имеют малые, а металлы – большие значения коэффициента температуропроводности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источниками теплоты внутри тела будет иметь вид

где q v - количество выделяемой теплоты в единице объема веще­ства в единицу времени, с - массовая теплоемкость тела, ρ - плотность тела.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндричес­ких координатах с внутренним источником теплоты будет иметь вид

где r - радиус-вектор в цилиндрической системе координат; φ - угол.