Теорема гаусса. Kvant. Теорема Гаусса Теорема гаусса для электростатического поля формулировка

Эта теорема представляет собой только следствие закона Кулона и принципа суперпозиции электрических полей. Вот её формулировка:

Поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключённых внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную  0 .

Доказательство теоремы начнём с простейшего случая: вычислим поток вектора напряжённости поля точечного заряда Q .

Напряжённость этого поля хорошо известна (см. 1.3)

Учитывая сферическую симметрию поля, выберем вначале в качестве гауссовой замкнутой поверхности сферу радиусом r , с центром в той точке, где находится зарядQ (рис. 2.5., 1). Поток вектора напряжённости через эту поверхность вычислить легко

Здесь мы учли, что:

Рис. 2.5.

Учитывая последнее замечание, запишем поток (2.7) в следующем виде:

(2.8)

Таким образом, для первого простейшего случая теорема Гаусса оказалась справедливой. Что из этого следует?

Полученный результат позволяет заключить, что найденный поток не зависит от радиуса гауссовой поверхности. Это легко понять: ведь с увеличением расстояния от заряда Q площадь поверхностирастёт пропорционально квадрату радиуса, а напряжённость поляубывает обратно пропорционально квадрату радиуса.

Вспомним, кроме того, что поток вектора напряжённости равен числу силовых линий, пронизывающих гауссову поверхность. Независимость потока от радиуса поверхности означает, что силовые линии поля точечного заряда, начинаясь на положительном заряде, простираются далее до бесконечности, не прерываясь. Отсюда - дальнейшие выводы.

Поток вектора напряжённости поля точечного заряда через любую замкнутую поверхность (рис. 2.5, 2),охватывающую точечный заряд Q , равен отношению

Этот вывод несомненен, так как поток равен прежнему неизменному числу силовых линий, пронизывающий замкнутую поверхность.

Поток вектора напряжённости, через произвольную замкнутую поверхность, не охватывающую электрический заряд, равен нулю (рис. 2.5, 3).

Этот вывод также легко понять, так как число силовых линий втекающих в гауссову поверхность, равно числу линий, покидающих её. Поэтому суммарный поток через эту поверхность равен нулю.

Теперь можно обратиться к рассмотрению общего случая: пусть произвольная замкнутая поверхность S охватываетN точечных зарядов (рис. 2.6.). Вычислим поток вектора напряжённости суммарного поля через эту поверхностьS, учтя, что в соответствии с принципом суперпозиции результирующее поле равно векторной сумме отдельных полей

Рис. 2.6.

Итак, воспользовавшись определением потока, вычислим его через произвольную замкнутую поверхность S .

(2.9)

Полученный результат является доказательством справедливости теоремы Гаусса: поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме через любую замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности .

ЛЕКЦИЯ № 7.ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУСА ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

ВВЕДЕНИЕ

На данной лекции мы продолжаем знакомиться с важнейшими характеристиками электростатического поля.

Введение понятия электрической индукции связано, прежде всего, с удобством описания электростатического поля и упрощением решения многих задач электростатики, главным образом, связанных с электростатическим полем в диэлектриках.

Дело в том, что еще одна величина, характеризующая электростатическое поле, – поток вектора индукции электростатического поля через любую поверхность определяется только свободными зарядами, а не всеми зарядами внутри, объема, ограниченного данной поверхностью.

При дальнейшем изучении электрических и магнитных полей мы еще не раз встретимся с аналогичными понятиями - индукция магнитного поля, поток магнитной индукции. Физический смысл этих понятий конечно разный, но математическая природа у них, совершенно эквивалентна.

1. ПОТОК ВЕКТОРА ИНДУКЦИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Как известно, напряженность электростатического поля зависит от свойств ср еды: в однородной изотропной среде напряженность поля обратно пропорциональна диэлектрической проницаемости .

Поэтому при переходе из одной среды в другую напряженность электростатического поля претерпевает скачкообразные изменения, создавая тем самым неудобства при расчете электростатических полей. Именно поэтому оказалось необходимым помимо вектора напряженности характеризовать поле еще одной векторной величиной – вектором электрического смещения или вектором индукции электростатического поля.

Определение. Электрическим смещением (электрической индукцией) называется векторная физическая величина равная произведению абсолютной диэлектрической проницаемости среды на напряженность электрического поля.

, (1)

где величина называется абсолютной диэлектрической проницаемостью среды.

Из формулы (1) следует, что вектор электрической индукции и вектор напряженности электростатического поля для изотропных сред, т.е. сред, свойства которых одинаковы по всем направлениям, всегда коллинеарны , так какабсолютная диэлектрическая проницаемость – величина строго положительная .

Найдем индукцию электрического поля точечного заряда.

Из формулы (2) видно, что, действительно, величина не зависит от свойств ср еды. Величина одинакова во всех средах (вода, керосин и т.д.).

Размерность электрической индукции в системе СИ:

Для графического изображения электростатического поля можно использовать линии электрического смещения .

Определение. Линии индукции электрического поля - это воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором индукции электрического поля в данной точке.

Рассмотрим электрическое поле, характеризуемое вектором электрического смещения . Пусть в этом поле находится некоторая элементарная плоская поверхность площадью - (рис.2).

Рис.2

Построим к поверхности единичную нормаль , направим ее "наружу". Затем введем вектор ориентированной площадки , равный произведению площади этой элементарной поверхности на вектор единичной нормали:

Очевидно, что и , так как .

Определение Элементарным потоком вектора электрической индукции через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная скалярному произведению вектора на векторориентированной площадки .

где - угол между вектором индукции и нормалью к поверхности , - проекция вектора электрической индукции на направление нормали .

Полный поток вектора через любую поверхность равен сумме элементарных потоков через элементарные поверхности, на которые можно разбить данную поверхность произвольной формы, то есть:

(4)

Размерность потока электрической индукциив системе СИ – кулон:

.

Замечание.

1) Для замкнутых поверхностей S поток вектора через эту поверхность равен:

()

За положительное направление нормали принимается направление внешней нормали, т.е. нормали, направленной наружу области, охватываемой поверхностью.

В данной части лекции мы изучили новые физические величины, характеризующие электрическое поле – индукцию электрического поля и поток вектора индукции электрического поля. Вектор электрическойиндукции является вспомогательной величиной, но, тем не менее, играет важную роль в процессе изучения электрического поля. Аналогичные величины будут введены при изучении магнитного поля.

2. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА

Вычислить напряженность поля, создаваемого системой зарядов, можно, как известно, с помощью принципа суперпозиции электростатических полей. Но это в большинстве случаев связано с громоздкими вычислениями.

Эти расчеты можно значительно упростить, если использовать основную теорему электростатики, теорему Остроградского-Гаусса, определяющую поток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность.

Теорема Остроградского-Гаусса формулируется следующим образом:

«Поток индукции электростатического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности».

Математически теорема Остроградского-Гаусса для электростатических полей записывается следующим образом:

= (5)

Замечания.

1) Поверхность обязательно должна быть замкнутой, форма поверхности не играет роли и может быть любой.

2) Если поверхность S не охватывает заряды , то поток электрической индукции через нее равен нулю (рис.3):

3) Если алгебраическая сумма зарядов равна 0, то и поток равен нулю.

Значение теоремы Остроградского-Гаусса огромно – она позволяет найти индукцию и напряженность электрического поля сложной конфигурации.

Алгоритм (схема) использования теоремы О c троградского-Гаусса при расчете напряженности электростатического поля, создаваемого произвольной конфигурацией зарядов, состоит из следующих пунктов:

1) Выбираем точку, в которой будем определять и

2) Через эту точку проводим замкнутую поверхность , охватывающую все заряды;

3) Вычисляем поток электрической индукции через эту поверхность по определению, то есть по формуле:

4) Считаем этот же поток, но по теореме Остроградского – Гаусса:

(5)

5) Приравниваем полученные в третьем и четвертом пункте выражения и находим величину электрической индукции в данной точке:

6) Зная электрическую индукцию , легко определить величину напряженности электростатического поля в данной точке :

Как уже говорилось выше, теорема Остроградского-Гаусса является одной из основных теорем электростатики, с помощью которой легко вычислить напряженность и электрическую индукцию электростатических полей различной конфигурации. Алгоритм применения теоремы Остроградского-Гаусса должен знать наизусть каждый студент.

3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА ДЛЯ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧСЕКИХ ПОЛЕЙ

Часто при решении задач удобно считать, что заряды распределены в заряженном теле непрерывно – вдоль некоторой линии (например, в случае заряженного тонкого стержня), поверхности (например, в случае заряженной пластины), или объёма. Соответственно пользуются понятиями линейной, поверхностной и объёмной плотностей зарядов.

Объёмная плотность электрических зарядов это скалярная физическая величина равная отношению заряда тела к объему тела, по которому распределен заряд:

Если зарядраспределен равномерно по объему тела, то объемная плотность заряда есть постоянная величина и ее легко рассчитать по формуле:

Размерность объемной плотности зарядов определяется из указанных формул и в интернациональной системе единиц равна: .

Поверхностная плотность электрических зарядов определяется аналогичным образом – это скалярная физическая величина равная отношению заряда всей поверхности к площади этой поверхности:

Поверхностная плотность зарядов измеряется в системе СИ в кулонах, деленных на квадратный метр:

Линейной плотностью электрических зарядов называется скалярная физическая величина равная отношению заряда протяженного тела к длине этого тела:

Размерность линейной плотности зарядов в интернациональной системе единиц – кулон, деленный на метр:

3.1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Так как сфера заряжена равномерно, то поверхностная плотность заряда есть постоянная величина:

Пусть радиус сферы нам известен и равен . Тогда из формулы, приведенной выше, можно легко выразить общий заряд всей сферы:

Будем считать,что сфера заряжена положительно. Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности сферы поле, создаваемое этими зарядами, обладает сферической симметрией. Поэтому линии электрической индукции (и силовые линии напряженности электростатического поля) направлены радиально от сферы (рис.4).

Рис.4

В соответствии с приведенным выше алгоритмом применения теоремы Остроградского-Гаусса выполним следующие действия:

1. Выберем произвольную точку А , расположенную на расстоянии от центра сферы и определим напряженность электростатического поля в этой точке;

2. Проведем через точку замкнутую поверхность . Учитывая сферическую симметрию задачи, удобно построить сферу радиусом с центром, точке, где находится центр заряженной сферы;

3. Считаем поток электрической индукции через поверхность по определению:

так как задача обладает сферической симметрией, то величина вектора электрической индукции в любой точке, находящейся на одинаковом расстоянии от центра заряженной сферы будет постоянна, поэтому мы имеем право вынести эту величину из-под знака интеграла. Кроме того, угол – угол между вектором электрической индукции и вектором нормали к сферической поверхности в любой точке сферическойповерхности, по которой проводится интегрирование, равен нулю.

Интеграл вида равен площади поверхности, по которой проводится интегрирование, поэтому окончательно можно записать:

;

4. Считаем этот же поток, но по теореме Остроградского – Гаусса:

5. Приравниваем полученные в пунктах 3 и 4 результаты:

Или ,

и находим величину электрической индукции в точке А :

Или

6. Определяем напряженность электростатического поля в точке :

или

Замечания:

1) Если точка А находится внутри заряженной сферы, то есть , тоэлектрическая индукция и напряженность электростатического поля в такой точке тождественно равны нулю и так как внутри заряженной сферы зарядов нет и поток электрической индукции через любую замкнутую поверхность, расположенную внутри заряженной сферы будет равен нулю . Другими словами – внутри заряженной сферы электрическое пол отсутствует.

2) Если точка А находится на поверхности заряженной сферы, то есть , то электрическая индукция и напряженность электрического поля на поверхности заряженной сферы соответственно равны:

Или

Или

График зависимости напряженности электростатического поля от расстояния до центра сферы (Рис.5):

Рис. 5

3.2. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

Пусть имеется равномерно заряженная бесконечная плоскость с постоянной поверхностной плотностью заряда (рис.6).

Будем использовать теорему Остроградского-Гаусса по известному алгоритму:

1. Выберем точку на расстоянии от плоскости.

2. Проведём через эту точку замкнутую поверхность в виде цилиндра, ось которого перпендикулярна заряженной поверхности. Точка лежит на основании цилиндра.

3. Вычислим поток индукции через построенную цилиндрическую поверхность по определению.

,

где – поток индукции через боковую поверхность цилиндра, – поток индукции через основание цилиндра.

Поток индукции через боковую поверхность равен нулю, так как угол между нормалью к боковой поверхности и вектором индукции равен . Поток через основание цилиндра:

4. Вычислим поток индукции по теореме Остроградского–Гаусса.

,

где – электрический заряд, находящийся внутри построенной нами замкнутой поверхности – цилиндра.

5. Приравняем результаты, полученные в пунктах 3 и 4, и найдём :

, отсюда

6. Вычислим напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью:

.

Из этих формул видно, что электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости является однородным и не зависит от расстояния.

Используя принцип суперпозиций для электростатического поля, легко можно получить выражения для напряженности и электрической индукции электрического поля плоского конденсатора:

Заключение

Теорема Остроградского-Гаусса была выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М.В. Остроградским, а затем независимо от него Гаусс получил эту теорему применительно к электростатическому полю.

При доказательстве этой теоремы Гаусс опирался на закон Кулона и поэтому теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля есть следствие закона Кулона.

По своей сути теорема Гаусса математически выражает тот факт, что именно электрические заряды и есть источники электростатического поля, поэтому теорема Гаусса является основной теоремой электростатики.

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА № 1. Двум изолированным металлическим концентрически расположенным сферам радиусами 5 сантиметров и 10 сантиметров сообщены соответственно заряды 10 нанокулон и 20 нанокулон . Пространство между сферами заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Определить напряженность электростатического поля и величину электрической индукции на расстоянии 2 сантиметра, 7 сантиметров и 12 сантиметров от центра обеих сфер.

ДАНО:

НАЙТИ:

РЕШЕНИЕ: данная задача решается с использованием теоремы Остроградского-Гаусса. Найдем электрическую индукцию и напряженность электростатического поля в точке, находящейся на расстоянии 2 сантиметра от общего центра данных сфер, для этого построим сферическую поверхность радиусом 2 сантиметра, центр которой совпадает с центром металлических сфер. После этого найдем поток электрической индукции через эту сферическую поверхность двумя способами – по теореме Остроградского-Гаусса и по определению потока электрической индукции . Первый способ дает тривиальное значение – поток электрической индукции должен быть равен нулю – , так как внутри сферической поверхности радиуса 2 сантиметра нет никакого электрического заряда. Второй способ дает следующий результат:

,

так как угол в любой точке сферической поверхности, через которую мы ищем поток электрической индукции. Кроме того, здесь мы учли, что интеграл по замкнутой поверхности равен площади сферической поверхности радиусом 2 сантиметра.

Приравняем два полученных результата: . Отсюда следует, что электрическая индукция равна нулю на расстоянии 2 сантиметра от центра металлических сфер и вообще в любой точке, находящейся внутри обеих сфер .Найдем теперь напряженность электростатического поля. Для этого используем определение электрической индукции . Из этого равенства следует, что . Таким образом, напряженность электростатического поля так же будет равна нулю на расстоянии 2 сантиметра от центра сфер и в любой точке внутри металлических заряженных сфер .

Перейдем к точке, находящейся между заряженными металлическими сферами на расстоянии 7 сантиметров от их общего центра. Будем действовать по тому же алгоритму. Сначала проведем сферическую поверхность радиуса 7 сантиметров, центр которой совпадает с центром металлических сфер. Затем посчитаем поток электрической индукции через эту поверхность двумя способами. Из теоремы Остроградского-Гаусса следует, что . Использование определения потока электрической индукции дает другой результат:

.

Здесь мы учли те же соображения, что были использованы в первом случае:

и

Приравняв эти выражения, получим:

.

Таким образом, электрическая индукция в точке, находящейся между заряженными сферами на расстоянии 7 сантиметров от их общего центра, зависит только от заряда внутренней сферы , внешняя сфера никак не влияет на электрическое поле, которое существует внутри нее.

Напряженность электростатического поля в интересующей нас точке будет равна

,

где – диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего пространство между заряженными сферами.

Проверим размерность полученных рабочих формул:

и

Размерность соответствует действительности, поэтому можно приступать к вычислению конечного результата:

,

Переходим к третьему этапу задачи. Для того чтобы найти значение электрической индукции и напряженности электростатического поля вне обеих заряженных сфер в точке, находящейся на расстоянии 12 сантиметров от их общего центра, проведем сферическую поверхность радиусом 12 сантиметров, центр которой совпадает с центром заряженных сфер.

Определим поток электрической индукции через эту поверхность двумя способами. Теорема Остроградского-Гаусса дает следующий результат:

Определение потока электрической индукции приводит к другому результату:

Левые части этих двух равенств одинаковы, значит, правые части этих равенств должны быть равны между собой, то есть: .

Выразим искомые величины:

и

Таким образом, в создании электрического поля вне заряженных сфер участвуют обе сферы. Так как пространство, окружающее внешнюю заряженную сферу, ничем не заполнено (является вакуумом), то .

Размерность этих формул можно не проверять, так как эта операция уже была проведена выше.

,

Знак минус дает нам информацию о направлении вектора электрической индукции и вектора напряженности электростатического поля в точке, находящейся на расстоянии 12 сантиметров от центра заряженных сфер. Действительно, в любой точке, лежащей вне заряженных сфер, вектор индукции и вектор напряженности электростатического поля будет направлен радиально к внешней заряженной сфере.

ЗАДАЧА № 2. Две бесконечно протяженные равномерно заряженные пластины находятся на некотором расстоянии друг от друга. Напряженность электростатического поля между пластинами 3000 вольт на метр, а вне пластин – 1000 вольт на метр. Найти поверхностную плотность заряда на каждой пластине.

ДАНО:

НАЙТИ:

РЕШЕНИЕ: при решении данной задачи мы воспользуемся результатами применения теоремы Остроградского-Гаусса для расчета напряженности и электрической индукции электростатического поля, создаваемой бесконечной равномерно заряженной плоскостью. Оказывается электростатическое поле, существующее около такой плоскости, является по своему характеру однородным, силовые линии такого электростатического поля направлены перпендикулярно плоскости. Если заряд на плоскости положительный, то силовые линии направлены от плоскости в обе стороны, если же заряд на плоскости отрицательный, то силовые линии направлены по обе стороны к плоскости. Величина напряженности в любой точке пространства около бесконечной равномерно заряженной плоскости равна .

Тот факт, что напряженность электростатического поля между пластинами больше, чем напряженность поля вне пластин говорит о том, что пластины заряжены разноименными зарядами – одна положительно, другая– отрицательно. Так как вне пластин вектора направлены в противоположные стороны , а между пластинами – в одну сторону, то есть .

Рис. 2

Если пластины зарядить одноименными зарядами, допустим положительно, будет, наоборот – между пластинами напряженность электростатического поля будет меньше, чем напряженность вне пластин, так как

ЗАДАЧА № 3. С какой силой действует электрическое поле плоского конденсатора на находящийся в нем электрический заряд 1 нанокулон ? Найти силу взаимодействия пластин конденсатора. Поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора равна 0,1 нанокулон на квадратный метр, а площадь пластин конденсатора равна 100 квадратных сантиметра.

ДАНО:

НАЙТИ:

РЕШЕНИЕ: электростатическое поле внутри плоского конденсатора складывается из электрического поля, создаваемого положительно заряженной пластиной и отрицательно заряженной пластиной. Напряженность результирующего поля будет равна векторной сумме напряженностей электрического поля, создаваемого одной и второй пластиной:

Величина напряженности бесконечной равномерно заряженной пластины может быть найдена с помощью теоремы Остроградского-Гаусса. Как известно, ее величина равна:

Суммируя все вышесказанное, можно найти напряженность электростатического поля внутри плоского конденсатора :

Этот результат говорит нам о том, что электрическое поле внутри плоского конденсатора является однородным.

Если поместить внутрь плоского конденсатора заряженную частицу, то она будет находиться в электростатическом поле, которое будет действовать на нее с определенной силой:

Проверим размерность полученной рабочей формулы:

Размерность правильная, так как сила действительно измеряется в ньютонах.

Математические вычисления дают следующий результат:

Силу взаимодействия, а именно силу притяжения пластин плоского конденсатора, можно найти следующим образом: рассмотрим одну заряженную пластину конденсатора, находящуюся в электростатическом поле, создаваемом другой заряженной пластиной. Величина заряда всей пластины конденсатора равна , где – площадь одной пластины плоского конденсатора. Напряженность электростатического поля, в котором находится эта пластина конденсатора, равна . Следовательно, сила, которая будет действовать на одну пластину конденсатора со стороны электростатического поля, создаваемого другой пластиной, будет описываться следующей формулой:

Итак, мы ответили на второй вопрос задачи – нашли силу взаимодействия (силу, с которой притягиваются) пластины плоского конденсатора.

Проверим размерность этой формулы:

Размерность соответствует действительности, приступим к математическим вычислениям:

В ряде случаев теорема Гаусса позволяет найти напряженность электрического поля протяженных заряженных тел, не прибегая к вычислению громоздких интегралов. Обычно это относится к телам, чья геометрическая форма обладает определенными элементами симметрии (шар, цилиндр, плоскость). Рассмотрим некоторые примеры применения теоремы Гаусса для расчета напряженности электрических полей.

Пример 1 . Поле равномерно заряженной плоскости.

Электрическое поле, создаваемое бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскостью, является однородным – в каждой точке пространства вне плоскости его напряженность всюду одинакова. Направлено это поле перпендикулярно к плоскости в обе стороны (рис.2.5). Поэтому для потока вектора напряженности поля через произвольно выбранную цилиндрическую поверхность, опирающуюся на элемент плоскости ΔS, можем написать: , откуда , где - поверхностная плотность заряда. Размерность в СИ: .

Таким образом, искомая напряженность электрического поля равномернозаряженной плоскости .

Пример 2 . Поле равномерно заряженной нити (цилиндра).

В данном случае электрическое поле обладает аксиальной симметрией – не зависит от азимутального угла φ и координаты z и направлено вдоль радиус-вектора (рис.2.6). Поэтому для потока вектора через выбранную цилиндрическую поверхность с осью, совпадающей с заряженной нитью, имеем: , где - элемент цилиндрической поверхности; l – длина произвольного участка нити.

С другой стороны, по теореме Гаусса этот поток равен: причем , - линейная плотность заряда нити. Отсюда находим: .

Искомая напряженность электрического поля равномерно заряженной нити : .

Пример 3 . Поле равномерно заряженного шара.

а) Металлический шар . При равновесии заряды равномерно распределяются по внешней поверхности заряженного шара (рис.2.7). Поэтому при < (внутри шара) электрическое поле отсутствует: .

Вне шара ( > ) электрическое поле, созданное равномерно распределенными по его поверхности зарядами, обладает сферической симметрией (направлено по радиальным линиям), поэтому, согласно теореме Гаусса:

.

Видим, что электрическое поле равномерно заряженного металлического шара не зависит от радиуса шара и совпадает с полем точечного заряда .

б) Диэлектрический шар .

Размерность объемной плотности заряда в СИ: .

Полный заряд шара, очевидно, есть: .

Имеем по теореме Гаусса:

1) Внутри шара (r < R) : , где Δq = - заряд внутренней области шара, ограниченной выбранной сферической поверхностью радиуса r . Отсюда находим: .

2) Вне шара (r > R) : , откуда = ,

то есть вне заряженного диэлектрического шара электрическое поле такое же , как и в случае металлического шара.

На рис.2.9 показан качественный ход зависимостей E(r) для металлического и диэлектрического шаров.

металл Рис.2.9 . Зависимость E(r). диэлектрик

1.4 Теорема Гаусса. Вектор электрической индукции.

Теорема Гаусса.

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя теорему Гаусса, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность .

Рассмотрим поток вектора напряженности через сферическую поверхность радиуса r , охватывающую точечный заряд q , находящийся в ее центре

Этот результат справедлив для любой замкнутой поверхности произвольной формы ,охватывающей заряд.

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю ,так как число линий напряженности,входящих в поверхность,равно числу линий напряженности, выходящих из нее.

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов .Согласно принципу суперпозиции напряженностьполя ,создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей , создаваемых каждым зарядом в отдельности. Поэтому

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме :потоквектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε 0 .

В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд объема V, охватываемого замкнутой поверхностью S равен и теорему Гаусса следует записать в виде .

Закон взаимодействия электрических зарядов - закон Кулона - можно сформулировать иначе, в виде так называемой теоремы Гаусса. Теорема Гаусса получается как следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Доказательство основывается на обратной пропорциональности силы взаимодействия двух точечных зарядов квадрату расстояния между ними. Поэтому теорема Гаусса применима к любому физическому полю, где действует закон обратных квадратов и принцип суперпозиции, например к гравитационному полю.

Рис. 9. Линии напряженности электрического поля точечного заряда, пересекающие замкнутую поверхность X

Для того чтобы сформулировать теорему Гаусса, вернемся к картине силовых линий электрического поля неподвижного точечного заряда. Силовые линии уединенного точечного заряда представляют собой симметрично расположенные радиальные прямые (рис. 7). Можно провести любое число таких линий. Обозначим полное их число через Тогда густота силовых линий на расстоянии от заряда, т. е. число линий, пересекающих единицу поверхности сферы радиуса равна Сравнивая это соотношение с выражением для напряженности поля точечного заряда (4), видим, что густота линий пропорциональна напряженности поля. Мы можем сделать эти величины численно равными, надлежащим образом выбрав полное число силовых линий N:

Таким образом, поверхность сферы любого радиуса, охватывающей точечный заряд пересекает одно и то же число силовых линий. Это значит, что силовые линии непрерывны: в промежутке между любыми двумя концентрическими сферами разных радиусов ни одна из линий не обрывается и не добавляется ни одной новой. Поскольку силовые линии непрерывны, то такое же число силовых линий пересекает любую замкнутую поверхность (рис. 9), охватывающую заряд

Силовые линии имеют направление. В случае положительного заряда они выходят наружу из окружающей заряд замкнутой поверхности, как показано на рис. 9. В случае отрицательного заряда они входят внутрь поверхности. Если число выходящих линий считать положительным, а входящих - отрицательным, то в формуле (8) можно опустить знак модуля у заряда и записать ее в виде

Поток напряженности. Введем теперь понятие потока вектора напряженности поля через поверхность. Произвольное поле можно мысленно разбить на малые области, в которых напряженность меняется по модулю и направлению столь мало, что в пределах этой области поле можно считать однородным. В каждой такой области силовые линии представляют собой параллельные прямые и имеют постоянную густоту.

Рис. 10. К определению потока вектора напряженности поля через площадку

Рассмотрим, какое число силовых линий пронизывает малую площадку направление нормали к которой образует угол а с направлением линий напряженности (рис. 10). Пусть - проекция на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Так как число линий, пересекающих одинаково, а густота линий, согласно принятому условию, равна модулю напряженности поля Е, то

Величина а представляет собой проекцию вектора Е на направление нормали к площадке

Поэтому число силовых линий пересекающих площадку равно

Произведение носит название потока напряженности поля через поверхность Формула (10) показывает, что поток вектора Е через поверхность равен числу силовых линий, пересекающих эту поверхность. Отметим, что поток вектора напряженности, как и число проходящих через поверхность силовых линий, есть скаляр.

Рис. 11. Поток вектора напряженности Е через площадку

Зависимость потока от ориентации площадки относительно силовых линий иллюстрируется рис.

Поток напряженности поля через произвольную поверхность представляет собой сумму потоков через элементарные площадки, на которые можно разбить эту поверхность. В силу соотношений (9) и (10) можно утверждать, что поток напряженности поля точечного заряда через любую охватывающую заряд замкнутую поверхность 2 (см. рис. 9), как число выходящих из этой поверхности силовых линий равен При этом вектор нормали к элементарным площадкам замкнутой поверхности следует направлять наружу. Если заряд внутри поверхности отрицателен, то силовые линии входят внутрь этой поверхности и связанный с зарядом поток вектора напряженности поля также отрицателен.

Если внутри замкнутой поверхности находится несколько зарядов, то в соответствии с принципом суперпозиции будут складываться потоки напряженностей их полей. Полный поток будет равен где под следует понимать алгебраическую сумму всех зарядов, находящихся внутри поверхности.

Если внутри замкнутой поверхности электрических зарядов нет или их алгебраическая сумма равна нулю, то полный поток напряженности поля через эту поверхность равен нулю: сколько силовых линий входит в объем, ограниченный поверхностью, столько же и выходит наружу.

Теперь можно окончательно сформулировать теорему Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля Е в вакууме через любую замкнутую поверхность пропорционален полному заряду находящемуся внутри этой поверхности. Математически теорема Гаусса выражается той же формулой (9), где под понимается алгебраическая сумма зарядов. В абсолютной электростатической

системе единиц СГСЭ коэффициент и теорема Гаусса записывается в виде

В СИ и поток напряженности через замкнутую поверхность выражается формулой

Теорема Гаусса широко используется в электростатике. В некоторых случаях с ее помощью легко рассчитываются поля, создаваемые симметрично расположенными зарядами.

Поля симметричных источников. Применим теорему Гаусса для расчета напряженности электрического поля равномерно заряженного по поверхности шара радиуса . Будем для определенности считать его заряд положительным. Распределение зарядов, создающих поле, обладает сферической симметрией. Поэтому такой же симметрией обладает и поле. Силовые линии такого поля направлены по радиусам, а модуль напряженности одинаков во всех точках, равноудаленных от центра шара.

Для того чтобы найти напряженность поля на расстоянии от центра шара, проведем мысленно концентрическую с шаром сферическую поверхность радиуса Поскольку во всех точках этой сферы напряженность поля направлена перпендикулярно ее поверхности и одинакова по модулю, то поток напряженности просто равен произведению напряженности поля на площадь поверхности сферы:

Но эту величину можно выразить и с помощью теоремы Гаусса. Если нас интересует поле вне шара, т. е. при то, например, в СИ и, сравнивая с (13), находим

В системе единиц СГСЭ, очевидно,

Таким образом, снаружи шара напряженность поля такая же, как у поля точечного заряда помещенного в центр шара. Если же интересоваться полем внутри шара, т. е. при то так как весь распределенный по поверхности шара заряд находится вне мысленно проведенной нами сферы. Поэтому поле внутри шара отсутствует:

Аналогично с помощью теоремы Гаусса можно рассчитать электростатическое поле, создаваемое бесконечной заряженной

плоскостью с плотностью постоянной во всех точках плоскости. По соображениям симметрии можно считать, что силовые линии перпендикулярны плоскости, направлены от нее в обе стороны и имеют всюду одинаковую густоту. Действительно, если бы густота силовых линий в разных точках была различной, то перемещение заряженной плоскости вдоль самой себя приводило бы к изменению поля в этих точках, что противоречит симметрии системы - такой сдвиг не должен изменять поле. Другими словами, поле бесконечной равномерно заряженной плоскости является однородным.

В качестве замкнутой поверхности для применения теоремы Гаусса выберем поверхность цилиндра, построенного следующим образом: образующая цилиндра параллельна силовым линиям, а основания имеют площади параллельны заряженной плоскости и лежат по разные стороны от нее (рис. 12). Поток напряженности поля через боковую поверхность равен нулю, поэтому полный поток через замкнутую поверхность равен сумме потоков через основания цилиндра:

Рис. 12. К вычислению напряженности поля равномерно заряженной плоскости

По теореме Гаусса этот же поток определяется зарядом той части плоскости, которая лежит внутри цилиндра, и в СИ равен Сравнивая эти выражения для потока, находим

В системе СГСЭ напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости дается формулой

Для равномерно заряженной пластины конечных размеров полученные выражения приближенно справедливы в области, находящейся достаточно далеко от краев пластины и не слишком далеко от ее поверхности. Вблизи краев пластины поле уже не будет однородным и его силовые линии искривляются. На очень больших по сравнению с размерами пластины расстояниях поле убывает с расстоянием так же, как поле точечного заряда.

В качестве других примеров полей, создаваемых симметрично распределенными источниками, можно привести поле равномерно заряженной по длине бесконечной прямолинейной нити, поле равномерно заряженного бесконечного кругового цилиндра, поле шара,

равномерно заряженного по объему, и т. п. Теорема Гаусса позволяет во всех этих случаях легко рассчитывать напряженность поля.

Теорема Гаусса дает связь между полем и его источниками, в некотором смысле обратную той, что дает закон Кулона, который позволяет определить электрическое поле по заданным зарядам. С помощью теоремы Гаусса можно определить суммарный заряд в любой области пространства, в которой известно распределение электрического поля.

В чем различие концепций дальнодействия и близкодействия при описании взаимодействия электрических зарядов? В какой мере эти концепции можно применить к гравитационному взаимодействию?

Что такое напряженность электрического поля? Что имеют в виду, когда ее называют силовой характеристикой электрического поля?

Каким образом по картине силовых линий можно судить о направлении и модуле напряженности поля в некоторой точке?

Могут ли силовые линии электрического поля пересекаться? Аргументируйте свой ответ.

Нарисуйте качественную картину силовых линий электростатического поля двух зарядов таких, что .

Поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность выражается разными формулами (11) и (12) в системах единиц ГСЭ и в СИ. Как это увязать с геометрическим смыслом потока, определяемого числом силовых линйй, пересекающих поверхность?

Как использовать теорему Гаусса для нахождения напряженности электрического поля при симметричном распределении создающих его зарядов?

Как применить формулы (14) и (15) к вычислению напряженности поля шара с отрицательным зарядом?

Теорема Гаусса и геометрия физического пространства. Посмотрим на доказательство теоремы Гаусса с несколько иной точки зрения. Вернемся к формуле (7), из которой был сделан вывод о том, что через любую окружающую заряд сферическую поверхность проходит одно и то же число силовых линий. Этот вывод связан с тем, что происходит сокращение в знаменателях обеих частей равенства.

В правой части возникло из-за того, что сила взаимодействия зарядов, описываемая законом Кулона, обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами. В левой части появление связано с геометрией: площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату ее радиуса.

Пропорциональность площади поверхности квадрату линейных размеров - это отличительная черта евклидовой геометрии в трехмерном пространстве. Действительно, пропорциональность площадей именно квадратам линейных размеров, а не какой-либо иной целой степени, характерно для пространства

трех измерений. То, что этот показатель степени равен точно двум, а не отличается от двойки пусть даже на ничтожно малую величину, свидетельствует о неискривленности этого трехмерного пространства, т. е. о том, что его геометрия именно евклидова.

Таким образом, теорема Гаусса - это проявление свойств физического пространства в фундаментальном законе взаимодействия электрических зарядов.

Идея о тесной связи фундаментальных законов физики со свойствами пространства высказывалась многими выдающимися умами еще задолго до установления самих этих законов. Так, И. Кант за три десятилетия до открытия закона Кулона писал о свойствах пространства: «Трехмерность происходит, по-видимому, оттого, что субстанции в существующем мире действуют одна на другую таким образом, что сила действия обратно пропорциональна квадрату расстояния».

Закон Кулона и теорема Гаусса фактически представляют один и тот же закон природы, выраженный в различных формах. Закон Кулона отражает концепцию дальнодействия, в то время как теорема Гаусса исходит из представления о силовом поле, заполняющем пространство, т. е. из концепции близкодействия. В электростатике источником силового поля является заряд, и связанная с источником характеристика поля - поток напряженности - не может измениться в пустом пространстве, где нет других зарядов. Поскольку поток можно наглядно представлять себе как совокупность силовых линий поля, то неизменность потока проявляется в непрерывности этих линий.

Теорема Гаусса, основанная на обратной пропорциональности взаимодействия квадрату расстояния и на принципе суперпозиции (аддитивности взаимодействия), применима к любому физическому полю, в котором действует закон обратных квадратов. В частности, она справедлива и для гравитационного поля. Ясно, что это не просто случайное совпадение, а отражение того, что и электрическое, и гравитационное взаимодействия разыгрываются в трехмерном евклидовом физическом пространстве.

На какой особенности закона взаимодействия электрических зарядов основана теорема Гаусса?

Докажите, основываясь на теореме Гаусса, что напряженность электрического поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния. Какие свойства симметрии пространства используются в этом доказательстве?

Каким образом геометрия физического пространства отражается в законе Кулона и теореме Гаусса? Какая особенность этих законов свидетельствует об евклидовом характере геометрии и трехмерности физического пространства?

1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда в любой точке сферы будет одинакова.

2. Электростатическое поле шара.

Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью.

В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда , расположенного в центре шара. Тогда вне шара

(13.10)

а на его поверхности (r=R)

В точке В, лежащей внутри шара на расстояний r от его центра (r>R), поле определяется лишь зарядом , заключенным внутри сферы радиусом r. Поток вектора напряженности через эту сферу равен

с другой стороны, в соответствии с теоремой Гаусса

Из сопоставления последних выражений следует

где- диэлектрическая проницаемость внутри шара. Зависимость напряженности поля, создаваемого заряженной сферой, от расстояния до центра шара приведена на (рис.13.10)

3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра).

Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью .

Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса Поток вектора напряженности через эту поверхность

По теореме Гаусса

Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью:

Пусть плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен σ. Из законов симметрии следует, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то поля по обе стороны плоскости должны быть одинаковы. Ограничим часть заряженной плоскости воображаемым цилиндрическим ящиком, таким образом, чтобы ящик рассекался пополам и его образующие были перпендикулярны, а два основания, имеющие площадь S каждое, параллельны заряженной плоскости (рис 1.10).

Суммарный поток вектора; напряженности равен вектору , умноженному на площадь S первого основания, плюс поток вектора через противоположное основание. Поток напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. линии напряженности их не пересекают. Таким образом, С другой стороны по теореме Гаусса

Следовательно

но тогда напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости будет равна