Производные основных элементарных функций презентация. Производные некоторых элементарных функций. Геометрический смысл производной

Цели урока:

  • Образовательные: познакомить учащихся с формулами нахождения производных элементарных функций; учить находить производные элементарных функций.
  • Развивающие: развивать коммуникативность, познавательность, способность принимать самостоятельное решение, умение владеть собой.
  • Воспитательные: создание условий для ситуации успеха, как следствие поддержания интереса к предмету, воспитывать познавательную активность, коммуникативные навыки, мобильность, умения общаться, общей культуры.

Оборудование: компьютеры, интерактивная доска.

Ход урока

I. Организационный момент

– Стали все ровненько, все готовы к уроку. Здравствуйте ребята. Садитесь на место.

II. Актуализация знаний

Презентация «Производная некоторых элементарных функций» (Приложение 1 )

На экране слайд 1

– Посмотрите ребята на слайд. Что вы здесь видите?

– Функции.

– степенная, тригонометрическая, логарифмическая и показательная (названия функций появляются по щелчку)

– Как можно назвать эти функции одним словом?

– элементарные.

– Хорошо. Какой раздел алгебры мы с вами сейчас изучаем? (слайд 2)

– «Производная и ее применение».

– Что мы уже умеем?

– Находить производную степенной функции, использовать правила дифференцирования, находить мгновенную скорость.

– Посмотрите на слайд и определитель что мы еще не знаем? (слайд 3)

– Мы не знаем, как находить производные остальных элементарных функций.

– Значит тема нашего урока как будет звучать?

– Производные некоторых элементарных функций.

– Определите каждый для себя цель урока и попытайтесь сформулировать ее..

– Познакомиться с формулами нахождения производных некоторых элементарных функций и учиться их применять.

– Откройте тетради и запишите сегодняшнее число и тему урока.

– Сегодня вы будете работать с листами самооценки, они лежат перед вами, на каждом этапе урока оцените свою работу и оценку поставьте в лист самооценки (Приложение 2 ).

– Для того чтобы успешно прошло усвоение темы урока, выполним упражнения на повторение. Прошу вас сесть за компьютеры, открыть программу MyTest, получите тест по сети и выполните его.

(Программу MyTest можно скачать из Интернета, она свободно распространяемая, удобно ее использовать потому, что вы сами можете создать любой тест, по окончанию выполнения ученик автоматически получает оценку и на компьютер учителя приходит результат каждого ученика, эти результаты дети видят все)

Тест.

Вписать правильный ответ.

Вариант 1.

  1. Производной функции s(t) называют …
  2. Производная суммы равна ….
  3. Найти производную функции f(x) = 3x 2 - 5х + 6.
  4. Найти производную функции f(x) = -x 2 + 3х + 1.
  5. Найти производную функции f(x) = (х - 2) 2 х 3 .

Вариант 2.

  1. Производной функции s(t) называют...
  2. Постоянный множитель можно вынести...
  3. Найти производную функции у = 5x 2 + 6х – 7.
  4. Найти производную функции у = x 2 + х + 1.
  5. Найти производную функции у = (x 2 + 2х)(х - 5).

– Хорошо. По результатам теста видно и, я думаю, вы осознаете, что вообще-то нам есть еще над, чем работать.

– Итак, ребята мы с вами сказали, что сегодня мы познакомимся с формулами нахождения производных некоторых элементарных функций. Перед вами лежат листы с заданиями (Приложение 3 ), предлагаю вам исследовать данные задания и попытаться самостоятельно определить формулы нахождения производных некоторых элементарных функций. Работу предлагаю выполнить в парах.

– Итак ребята, я вижу вы уже справились, давайте анализировать и делать выводы.

Предполагаемый ответ детей:

Определите производную функции y = sin x.

Задание 1

Найдите производную функции

Решение:
(x) = cosx +6 x + 6

Задание 2

Найдите производную функции

Решение:

Вывод: (sinx)’ =___________________

– Проанализировав данное задание и его решение можно сказать следующее: мы уже умеем находить производную степенной функции и видим, что производная от 3x 2 равна 6х, производная от 6х равна 6, производная от константы равна 0, значит можно сделать вывод, что производная от sinx равна cosx. Аналогично этот вывод мы можем сделать проанализировав Задание 2.

Ребята анализируют, используя интерактивную доску, подчеркивают на слайде нужную информацию. В процессе ответов учитель вносит коррективы, если они необходимы. Аналогичная работа по каждому заданию. (Слайд 5–12).

– Молодцы, ребята. Вы сами определили формулы для нахождения производных некоторых элементарных функций. В рабочие тетради запишите все эти формулы, попытайтесь на память, а если не получается, то смотрите на слайд (слайд 13).

III. Закрепление полученных знаний

– Итак, мы уже знаем формулы нахождения производных некоторых элементарных функций, давайте учиться их применять при выполнении упражнений. И это я предлагаю вам сделать с помощью тестов ЦОР, самостоятельно. Путь к тесту на доске.

Тема: «15. Правила вычисления производных».

Учащиеся выполняют задание по следующему пути: Правила вычисления производной/Контроль/Задание 6, Задание 7.

В результате выполнения задания учащиеся автоматически получаю оценку, они могут вернуться к тем заданиям, которые они выполнили неправильно, разобраться в чем ошибка и исправить ее.

IV. Рефлексия

– Поставьте себе итоговую оценку в листок самооценки.

– Возникли ли у вас какие-то проблемы при решении упражнений?

– Да. Как найти производную функции y = tgx? Мы сегодня эту формулу не изучали, а задании был такой пример.

– Хорошо. А, что такое tgx?

– Это отношение sinx к cosx.

– Формулу нахождения производной sinx знаем? (Да). Производную cosx? Так, вот дома выведите сами формулу нахождения производной функции y = tgx.

V. Итог урока

Выставление оценок за работу на уроке. Сравнить с самооценкой.

VI. Домашнее задание

§ 5, № 53, 54, инд. задание.

И еще ребята остался у нас с вами один вопрос. Помните, вы мне задали вопрос: Зачем мы изучаем эту тему? Всем было понятно, что задания, где используется производная, есть в тестах ЕГЭ, а еще где применяется производная? И я вам предложила самостоятельно найти ответ на этот вопрос. Вы готовы сегодня на него ответить? Выслушать выступления учащихся.

Самоанализ урока

Класс, в котором проводился урок – 11 класс. Уровень знаний учащихся средний. Только одна ученица Орехова Наталья можно сказать «сильная», девочка собирается поступать в РИНХ на факультет Финансы и кредит, остальные занимаются посредственно.

Тип урока – изучение нового материала. На уроке использовала различные формы и методы, технологии деятельстного подхода. На протяжении урока была выстроена мотивация. При актуализации знаний, с помощью того, что мы уже знаем и чего еще не знаем, ребята определили сами тему урока и каждый из них определил для себя цель урока. С целью повторения и проверки домашнего задания, я использовала программу MyTest. Тесты составляла сама, и в заданиях необходимо было вписать правильный ответ.

При изучении нового материала, ребята работали в парах, путем анализа и синтеза были определены формулы нахождения производных некоторых элементарных функций.

На этапе закрепления использовала ЦОР, тест с выбором ответа. Считаю, что на начальном этапе изучения этой темы целесообразно использовать тесты именно с выбором ответа, в дальнейшем мы будем учиться применять формулы и для других заданий.

Проводилась рефлексия, использую в работе листы с самооценкой, оценки за урок были выставлены и прокомментированы. Домашнее задание, заданно дифференцированно и некоторые ученики получили индивидуальное задание.

Пытаемся определять цель изучения этой темы в жизни.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Производные элементарных функций. Урок обобщающего повторения 11 класс Круглова А.Н., учитель математики ГБОУ СОШ № 186

Цели урока 1. Обобщить и закрепить понятие производной. 2. Повторить понятие предела функции и ее непрерывности, понятие производной. 3. Повторить правила дифференцирования, производные степенной и некоторых элементарных функций. 4. Применить данные знания при дифференцировании. 5. Реализация индивидуального режима работы.

Историческая справка. Термин « функция » впервые был употреблен в 1692 г. немецким математиком Г.Лейбницем. В 1748 г. Л.Эйлер определение функции и ввел символ f(x). В 1834 г. Н.И.Лобачевский дал определение функции на основе идеи соответствия двух числовых множеств. В 1837 г. немецкий математик П.Дирихле сформулировал обобщенное понятие функции: «у является функцией переменной х на отрезке , если каждому значению х соответствует определенное значение у, причем не важно, каким образом установлено это соответствие – формулой, графиком, таблицей или словесным описанием». Первое определение предела дал английский математик Д.Валлис (1616-1703). Метод пределов получил свое развитие в работах английского ученого И.Ньютона (1643-1727), он же ввел символ lim. Существенный вклад в развитие дифференциального исчисления внесли французские ученые П.Ферма (1601-1665) и Р.Декарт (1596-1650). Ньютон пришел к понятию производной, решая задачи механики, связанные с нахождением мгновенной скорости. Термин «производная» ввел в 1800 г. французский математик Л.Арбогаста (1759-1803). Обозначение производной y’ и f(x)’ ввел французский математик Ж.Лагранж (1736-1813). Существенным приближением теории дифференциального исчисления к ее современному изложению стали работы французского математика О.Коши (1789-1857).

Предел функции. Построить графики функций 1) у = х + 1 2) х ² - 1 х – 1 при х 1 у = 3 при х = 1 3) у = (х ² - 1) : (х – 1) Ответить на вопросы а) Чем являются графики функций? Прямыми б) Через какие точки на осях координат проходят графики? (0;1) и (-1;0) в) Чем отличаются графики? Второй и третий графики с «выколотой» точкой (1 ; 2) , но на втором графике при х = 1 значение функции равно 3.

Графики функций. у у у х х х 1 2 3

Вывод Общее свойство функций при значениях х, близких к 1 ? Значения каждой из функций мало отличается от 2. Следовательно, каждая из этих функций имеет в точке х = 1 предел, равный 2. Как это записать? Однако для первой функции lim y(x) = y(1) = 2 Для второй функции lim y(x) ≠ y(1) , для третьей функции у(1) не существует. Первую функцию называют непрерывной, а вторую и третью функции – разрывными в точке х = 1. lim y(x) = 2 x 1

Определение производной Производной функции f(x) в точке х 0 называется предел разностного отношения f(x 0 + h) – f(x 0) h при h → 0: ƒ‘(x 0) = lim Операция нахождения производной называется дифференцированием. 0 h

Производная степенной и некоторых элементарных функций. (Найти в правой части продолжение формул) (х ⁿ) " = 1 2 3 4 5 6 () ‘ = 1 2 3 4 5 6 3. (ln x)’ = 1 2 3 4 5 6 4. (sin x)‘ = 1 2 3 4 5 6 (cos x)’ = 1 2 3 4 5 6 Продолжим = cos x = - sin x = = tg x = 1/x = nx ⁿˉ¹

Решить примеры 1) (x ³)’ = 2) (2 x)’ = 3) ()’ = 4) (lnx)’ = 5) (-4 lnx)’ = 6) (3)’ = 7) (5 cosx)’ = 8) (0.3 sinx)’ = 3x ² 2 - 10 x ˉ ³ 1 / x - 4 / x 3 e - 5 sinx 0.3 cosx

Правила дифференцирования. Производная суммы (f(x) + g(x))’ = = f’(x) – g’(x) = f’(x) + g’(x) = f’(x) * g’(x) Постоянный множитель (cf(x))’ = = c + f’(x) = f’(x) – c = cf’(x) Производная произведения (f(x) ·g(x))’ = f’(x)·g(x) + f(x)·g’(x) = f’(x) ·g’(x) = f’(x) ·g(x) Производная частного (f(x)/g(x))’ = f’(x)/g’(x) = (f’(x) ·g(x) - f(x)·g’(x)) / g²(x) = f’(x) ·g(x) – f(x)·g’(x) Продолжим урок.

Cлайд 1

Производная функции Определение производной Геометрический смысл производной Связь между непрерывностью и дифференцируемостью Производные основных элементарных функций Правила дифференцирования Производная сложной функции Производная неявно заданной функции Логарифмическое дифференцирование

Cлайд 2

Определение производной Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b). Аргументу x придадим некоторое приращение: х f(x) x+Δx f(x+ Δx) Найдем соответствующее приращение функции: Если существует предел то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:

Cлайд 3

Определение производной Итак, по определению: Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается одним из символов: Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.

Cлайд 4

Геометрический смысл производной Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1: х f(x) x+Δx М М1 f(x+ Δx) Через точки М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.

Cлайд 5

Геометрический смысл производной Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x. Если точка касания М имеет координаты (x0; y0), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0). Уравнение прямой с угловым коэффициентом: Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Уравнение касательной Уравнение нормали

Cлайд 6

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней. Теорема Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х, следовательно существует предел: Доказательство: где при По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции Функция y = f(x) – непрерывна. Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.

Cлайд 7

Производные основных элементарных функций 1 Формула бинома Ньютона: Степенная функция: K – факториал

Cлайд 8

Производные основных элементарных функций По формуле бинома Ньютона имеем: Тогда:

Cлайд 9

Производные основных элементарных функций 2 Логарифмическая функция: Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.

Cлайд 10

Правила дифференцирования Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.

Cлайд 11

Производная сложной функции Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x. Теорема Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:

Cлайд 12

Cлайд 13