Приведение плоской произвольной системы сил к центру. Приведение плоской системы сил к данной точке. Частные случаи приведения системы сил

Метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в некото­рых точках тела (рис. 1.24) приложены силы F 1 F 2 , F 3 и F 4 . Тре­буется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу приложенную в точ­ке А. Приложим (см. § 16) в точке О две силы рав­ные порознь по значению заданной силе параллель­ные ей и направленные в про­тивоположные стороны. В ре­зультате приведения силы получим силу , приложен­ную в точке О, и пару сил с плечом . Поступив таким же образом с силой , приложенной в точке В, получим силу , приложенную в точке О, и пару сил с плечом и т. д. Плоскую систему сил, приложенных в точках А, В, С и D, мы заменили сходящимися силами , приложенными в точке О, и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О:

рис.1.24

Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой равной геометрической сумме составляющих,

Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил и обозначают .

По величине проекций главного вектора на оси координат находим модуль главного вектора:

На основании правила сложения пар сил их можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О и называется главным моментом относительно точки приведения

Таким образом, произвольная плоская система сил приводиться к одной силе (главному вектору системы сил) и одному моменту (главному моменту системы сил).

Необходимо усвоить, сто главный вектор не является равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе . Так как главный вектор равен геометрической сумме сил заданной системе, то ни модуль, ни направление его не зависит от выбора центра приведения. Значение и знак главного момента зависит от положения центра приведения, так как плечи составляющих пар зависят от взаимного положения сил и точки (центра) относительно которой берутся моменты.

Частные случаи приведения системы сил:

1) ; система находиться в равновесии, т.е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент одновременно были равны нулю.

Лекция 3

Краткое содержание: Приведение произвольной и плоской системы сил к центру. Теорема о параллельном переносе силы, основная теорема статики Приведении системы сил к данному центру Главный вектор и главный момент системы сил. Зависимость главного момента от выбора центра. Аналитическое определение главного вектора и главного момента системы сил. Инварианты системы сил. Приведение системы сил к простейшему виду. Частные случаи приведения произвольной системы сил, динамический винт. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.

Приведение силы к заданному центру (Лемма Пуансо)

Равнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью сложения сил по правилу параллелограмма. Очевидно, что аналогичную задачу можно будет решить и для произвольной системы сил, если найти для них метод, позволяющий перенести все силы в одну точку.

Лемма Пуансо о параллельном переносе силы . . Не изменяя действия силы на твердое тело, ее можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела, добавляя при этом пару, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Пусть сила приложена в точке A. Действие этой силы не изменяется, если в точке B приложить две уравновешенные силы. Полученная система трех сил представляет собой силу равную , но приложенную в точке В и пару с моментом . Процесс замены силы силой и парой сил называется приведением силы к заданному центру В. ■

Приведение системы сил к заданному центру.

Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.

Главным моментом системы сил относительно точки О тела, называется вектор, равный векторной сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.

Теорема Пуансо (Основная теорема статики)

Произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы и пары сил. Сила равна главному вектору системы сил и приложена в произвольно выбранной точке (центре приведения), момент пары равен главному

моменту системы сил относительно этой точки.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Точка О - центр приведения. По лемме Пуансо перенесем силу F1 в точку О. При этом вместо F1 имеем в точке О такую же силу F1’ и дополнительно пару сил с моментом m1.

Аналогично перенесем все остальные силы. В результате получим систему сходящихся сил и систему пар сил. По теореме о существовании равнодействующей системы сходящихся

сил их можно заменить одной силой R, равной главному вектору. Систему пар по теореме о сложении пар можно заменить одной парой, момент которой равен главному моменту Mo. ■

Инварианты статики

Инварианты статики - характеристики системы сил, не зависящие от выбора центра приведения.

Первый инвариант статики - главный вектор системы сил (по определению).

Второй инвариант статики - скалярное произведение главного вектора и главного момента.

В самом деле, главный момент, очевидно, зависит от выбора центра приведения. Рассмотрим произвольную систему сил . Приведем ее сначала к центру О, а затем к центру О 1 .

Из рисунка видно,что .Поэтому формула для примет вид

Или .

Домножим обе части этого равенства на соответственно, учитывая что главный вектор системы сил является первым инвариантом статики: . По

свойству смешанного произведения векторов , следовательно:

.

Если воспользоваться определением скалярного произведения, то для второго инварианта можно получить еще одну форму:

Так как , то предыдущее выражение примет вид:

Таким образом, проекция главного момента на направление главного вектора есть величина постоянная для данной системы сил и не зависит от выбора центра приведения.

Частные случаи приведения произвольной системы сил к простейшему виду

1) Если при приведении системы сил к центру О то на основании (6.4) можно записать

.

равнодействующей , приложенной в центре приведения и совпадающей по величине и направлению с главным вектором.

2)Если при приведении системы сил к центру О

то представив в виде пары сил с плечом ,

получим: .

В этом случае система сил приводится к равнодействующей , совпадающей по величине и направлению с главным вектором, а линия действия равнодействующей отстоит от линии действия главного вектора на расстоянии .

3)Если при приведении системы сил к центру О то можно записать

,то есть система сил приводится к паре сил с моментом, равным главному моменту системы сил.

4)Если при приведении системы сил к центру О то можно записать

Т.е. система сил находится в равновесии .

Определение: Система, состоящая из силы и пары сил, момент которой коллинеарен силе (плоскость пары перпендикулярна линии действия силы), называется динамой или динамическим винтом .

Если при приведении системы сил к центру О второй инвариант не равен нулю, то эта система сил приводится к динаме .

Разложив на две составляющие - вдоль главного вектора и - перпендикулярно главному вектору, для и будем иметь случай 2),а вектор , как свободный можно перенести параллельно самому себе в точку О 1:

Вектора представляют собой динаму, где , .

В рассматриваемом случае приведения системы сил главный момент имеет минимальное значение. Это значение момента сохраняется при приведении заданной системы сил к любой точке, лежащей на линии действия главного вектора и главного момента . Уравнение этой линии(центральная винтовая ось системы сил) определяется из условия коллинеарности векторов и : .

Решим теперь задачу о приведении произвольней системы сил к данному центру, т. е. о замене данной системы сил другой, ей эквивалентной, но значительно более простой, а именно состоящей, как мы увидим, только из одной силы и пары.

Пусть на твердое тело действует произвольная система сил (рис. 40, а).

Выберем какую-нибудь точку О за центр приведения и, пользуясь теоремой, доказанной в § 11, перенесем все силы в центр О, присоединяя при этом соответствующие пары (см. рис. 37, б). Тогда на тело будет действовать система сил

приложенных в центре О, и система пар, моменты которых согласно формуле (18) равны:

Сходящиеся силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой R, приложенной в точке О. При этом или, согласно равенствам (19),

Чтобы сложить все полученные пары, надо сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится одной парой, момент которой или, согласно равенствам (20),

Как известно, величина R, равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы величина равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О, называется главным моментом системы сил относительно этого центра.

Таким образом, мы доказали следующую теорему о приведении системы сил: любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно выбранному центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы сил и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом равным главному моменту системы сил относительно центра О (рис. 40, б).

Заметим, что сила R не является здесь равнодействующей данной системы сил, так как заменяет систему сил не одна, а вместе с парой.

Из доказанной теоремы следует, что две системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра, эквивалентны (условия эквивалентности систем сил).

Отметим еще, что значение R от выбора центра О, очевидно, не зависит. Значение же при изменении положения центра О может в общем случае изменяться вследствие изменения значений моментов отдельных сил. Поэтому всегда необходимо указывать, относительно какого центра определяется главный момент.

Теорема . Силу F , не изменяя её действие на тело, можно перенести из точки её приложения А в любой центр приведения О, присоединив при этом к телу пару сил с моментом М , геометрически равным моменту M О (F ) этой силы относительно центра приведения .

Пусть задана силаF , лежащая в горизонтальной плоскости OXY параллельно оси ОХ (рис. 1.41).

Согласно методу Пуансо вместо силы F , приложенной в точке А, получена сила F 1 , равная по величине силе F , но приложенная в точке О и присоединённая пара сил , векторный момент которой M = M О (F ).

По теореме об эквивалентности пар сил присоединённую пару сил можно заменить любой другой парой сил с таким же векторным моментом.

1.15. Приведение произвольной системы сил к заданному центру

Теорема . Любую произвольную систему сил, действующую на тело, можно привести в общем случае к силе и паре сил.

Такой процесс замены системы сил одной силой и парой сил называют приведением системы сил к заданному центру .

П

Последовательно применяя метод Пуансо к каждой из заданной системы сил, приведём её к произвольному центру О. В результате этого получим систему сил (F 1 , …, F n), приложенных в центре О, и присоединённую пару сил с моментом M = Σ M О (F i). Складывая силы F 1 , …, F n по правилу параллелограмма, получим их равнодействующую R * , равную геометрической сумме заданных сил и приложенную в центре приведения.

Геометрическую сумму всех сил системы называют главным вектором системы сил и, в отличие от равнодействующей R , обозначают R * .

Вектор M = Σ M О (F i) называют главным моментом системы сил относительно центра приведения.

Этот результат можно сформулировать следующим образом: силы, произвольно расположенные в пространстве, можно привести к одной силе, равной их главному вектору и приложенной в центре приведения и к паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относительно центра приведения.

Выбор центра приведения не отражается на модуле и направлении главного вектора R * , но влияет на модуль и направление главного момента М . Главный вектор R * является свободным вектором и может быть приложен в любой точке тела.

1.16. Аналитические условия равновесия плоской произвольной системы сил

Плоская произвольная система сил – система сил, линии действия которых произвольно расположены в одной плоскости.

Линии действия плоской произвольной системы сил пересекаются в различных точках.

Н

Последовательно применяя метод Пуансо для каждой из сил F i , осуществим параллельный перенос сил из точек A i в начало О системы отсчёта OXYZ. Согласно этому методу, сила F i будет эквивалентна силе F i ,приложенной в точке О, и присоединённой паре сил с моментом M i = M О (F i ) . При этом M i = ± F i h i , где h i – плечо силы F i относительно центра приведения О. По окончании этой работы получим сходящуюся систему сил (F i ,…, F n) и сходящуюся систему векторных моментов M i = M О (F i) присоединённых пар сил, приложенных в центре приведения. Сложив векторы сил, получим глав

ный вектор R * = ΣF i и главный момент эквивалентной пары сил M = Σ M О (F i).

Таким образом, плоская произвольная система сил (F i ,…, F n ) эквивалентна одной силе R* = Σ F i и паре сил с моментом M = Σ M О (F i ).

При решении задач статики используют проекции силы на координатные оси и алгебраические моменты сил относительно точки.

На рис. 1.44 изображена плоская произвольная система сил, приведённая к главному вектору сил, модуль которой R*=
и эквивалентной паре сил с алгебраическим моментом M = Σ M О (F i).

В

Геометрическое условие равновесия любой системы сил выражается векторными равенствами: R * = Σ F i = 0; M = Σ M О (F i) = 0.

При решении задач требуется определить реакции R i E внешних связей, наложенных на механическую систему. При этом активные силы F i E , приложенные к этой системе, известны. Так как активные силы F i E и реакции связей R i E относятся к разряду внешних сил, то геометрическое условие равновесия системы внешних сил целесообразно выразить векторными равенствами:

Σ F i E + Σ R i E = 0;

Σ M A (F i E) + Σ M A (R i E) = 0.

Для равновесия системы внешних сил необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма активных сил F i E и реакций R i E внешних связей и геометрическая сумма моментов активных сил M A ( F i E ) и реакций внешних связей M A ( R i E ) относительно произвольной точки А равнялись нулю.

Проецируя эти векторные равенства на координатные оси системы отсчёта, получим аналитические условия равновесия системы внешних сил . Для плоской произвольной системы сил эти уравнения приобретают следующий вид:

Σ
+ Σ
= 0;

Σ
+ Σ
= 0;

Σ M A (F i E) + Σ M A (R i E) = 0,

где Σ
, Σ
– соответственно суммы проекций активных сил на координатные оси OX, OY; Σ
, Σ
– суммы проекций реакций внешних связей на координатные оси OX, OY; Σ M A (F i E) – сумма алгебраических моментов активных сил F i E относительно точки А; Σ M A (R i E) – сумма алгебраических моментов реакций R i E внешних связей относительно точки А.

Совокупность этих формул есть первая (основная) форма уравнений равновесия плоской произвольной системы внешних сил .

Таким образом , для равновесия плоской произвольной системы внешних сил, приложенных к механической системе, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций активных сил и реакций внешних связей на две координатные оси и сумма алгебраических моментов активных сил и реакций внешних связей относительно произвольной точки А равнялись нулю.

Существуют и другие формы уравнений равновесия плоской произвольной системы сил.

Вторая форма выражается совокупностью формул:

Σ
+ Σ
= 0;

Σ M A (F i E) + Σ M A (R i E) = 0;

Σ M В (F i E) + Σ M В (R i E) = 0.

Для равновесия плоской произвольной системы внешних сил, приложенных к телу, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций сил на координатную ось и суммы алгебраических моментов сил относительно произвольных точек А и В равнялись нулю.

Третья форма уравнений равновесия выражается совокупностью формул:

Σ M A (F i E) + Σ M A (R i E) = 0;

Σ M В (F i E) + Σ M В (R i E) = 0;

Σ M С (F i E) + Σ M С (R i E) = 0.

Для равновесия плоской произвольной системы внешних сил, приложенных к телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов этих сил относительно произвольных точек А, В и С равнялись нулю.

При использовании третьей формы уравнений равновесия точки А, В и С не должны лежать на одной прямой.

Описанный метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в точках тела A,B,C и D (рис. 19) приложены силы 1 , 2 , 3 и 4 . Требуется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу 1 , приложенную в точке А. Приложим в точке О две силы ’ 1 и ’’ 1 , равные порознь по модулю заданной силе 1 , параллельные ей и направленные в противоположные стороны. В результате приведения силы 1 получим силу ’ 1 , приложенную в точке О , и пару сил 1 ’’ 1 (силы, образующие пару, отмечены черточками) с плечом а 1 . Поступив таким же образом с силой 2 ,приложенной в точке В , получим силу 2 , приложенную в точке О , и пару сил 2 ’’ 2 с плечом а 2 и т.д.

Плоскую систему сил, приложенных в точках А , В , С и D , мы заменили сходящимися силами ’ 1 , ’ 2 , ’ 3 и ’ 4 , приложенными в точке О , и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О :

М 1 = Р 1 а 1 =М о ( 1); М 2 = ­ Р 2 а 2 = М о ( 2);

М 3 = – Р 3 а 3 = М о ( 3); М 4 = – Р 4 а 4 = М о ( 4).

Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой " , равной геометрической сумме составляющих,

" = " 1 + " 2 + " 3 + " 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = i . (16)

Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил.

На основании правила сложения пар сил из можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О :

М о = М 1 + М 2 + М 3 + М 4 = i = o ( i). (17)

По аналогии с главным вектором момент М 0 пары, равный алгебраической сумме моментов всех сил относительно центра приведения О , называют главным моментом системы относительно данного центра приведения О. Следовательно, в общем случае плоская система сил в результате приведения к данной точке О заменяется эквивалентной ей системой, состоящей из одной силы – главного вектора – и одной пары, момент которой называют главным моментом заданной системы сил относительно центра приведения.

Необходимо усвоить, что главный вектор ’ не является равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе ’. Только в частном случае, когда главный момент обращается в нуль, главный вектор будет равнодействующей данной системы сил. Так как главный вектор равен геометрической сумме сил данной системы, то ни модуль, ни направление его не зависят от выбора центра приведения. Величина и знак главного момента М 0 зависят от положения центра приведения, так как плечи составляющих пар зависят от взаимного положения сил и точки (центра), относительно которой берутся моменты.

Могут встретиться следующие случаи приведения системы сил:

1. " ≠ 0; М о ≠ 0 - общий случай; система приводится к главному вектору и к главному моменту.

2. " ≠ 0; М о = 0; система приводится к одной равнодействующей, равной главному вектору системы.

3. " = 0; М о ≠ 0; система приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту.

4. " = 0; М о = 0; система находится в равновесии.

Можно доказать, что в общем случае, когда " ≠ 0 и М о ≠ 0, всегда есть точка, относительно которой главный момент системы сил равен нулю.

Рассмотрим плоскую систему сил, которая приведена к точке О , т.е. заменена главным вектором " ≠ 0 , приложенным в точке О , и главным моментом М о ≠ 0 (рис. 20).

Для определенности примем, что главный момент направлен по часовой стрелке, т.е. М о < 0. Изобразим этот главный момент парой сил "" , модуль которых выберем равным модулю главного вектора " , т.е. R = R ’’ = R ’ . Одну из сил, составляющих пару, – силу "" – приложим в центре приведения О , другую силу –– в некоторой точке С , положение которой определится из условия: М о = ОС*R. Следовательно,

ОС = . (18)

Расположим пару сил "" так, чтобы сила "" была направлена в сторону, противоположную главному вектору " . В точке О (рис. 20) имеем две равные взаимно противоположные силы " и "" , направленные по одной прямой; их можно отбросить (согласно третьей аксиоме). Следовательно, относительно точки С главный момент рассматриваемой системы сил равен нулю, и система приводится к равнодействующей .

§ 18. Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона)

В общем случае (см. § 17) произвольная плоская система сил приводится к главному вектору " и главному моменту М 0 относительно выбранного центра приведения, причем главный момент равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О

М о = o ( i). (а)

Было показано, что можно выбрать центр приведения (на рис. 20 точка С ), относительно которого главный момент системы будет равен нулю, и система сил приведется к одной равнодействующей , равной по модулю главному вектору (R = R’ ). Определим момент равнодействующей относительно точки О . Учитывая, что плечо ОС силы равно , получаем

М о () = R*OC =R = М о. (б)

Две величины, порознь равные третьей, равны между собой, поэтому из уравнений (а) и (б) находим

М о () = o ( i). (19)

Полученное уравнение выражает теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно произвольно взятой точки равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Из теоремы Вариньона следует, что главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии действия ее равнодействующей, равен нулю.