Пределы монотонных функций. Монотонность функции. Возрастание и убывание Что значит монотонно возрастает

Применение производной в исследовании функций.

§1. Возрастание и убывание функций.

Теорема (критерий монотонности дифференцируемой функции). Пусть функциянепрерывна напромежутке
и дифференцируема во всех его внутренних точках. Тогда:

Для монотонного возрастания функции необходимо и достаточно, чтобы в

0;

Для монотонного убывания функции необходимо и достаточно, чтобы в (а,в)
0;

Для постоянности функции необходимо и достаточно, чтобы в (а,в)
=0.

Док-во . Докажем достаточность для возрастающей функции. Выберем произвольно точки
. По теореме Лагранжа найдется точка

, такая что . Т.к. оба множителя в правой части неотрицательны, то
, т.е.
. Следовательно, функция является монотонно возрастающей.

Докажем необходимость для возрастающей функции. Пусть f(x ) – монотонно возрастает. Тогда
, следовательно
в (а,в).

Для убывающей функции доказательства аналогичны.

Докажем необходимость для постоянной функции. Если f (x )= const в (а,в), то
.

Докажем достаточность для постоянной функции. Пусть
в (a , b ) . Тогда тем более
в (a , b ) . Тогда по доказанному выше функция монотонно возрастает в (a , b ) , т.е. . С другой стороны, если
в (a , b ) , то тем более
в (a , b ) . Тогда по доказанному выше функция монотонно убывает в (a , b ) , т.е. . Одновременное выполнение этих условий возможно лишь при
.▲

Пример . Найти промежутки монотонности функции
.

Найдем производную
. Очевидно, что при производная
, функция является возрастающей. При
производная
, функция убывает.

§2. Экстремумы функции.

Пусть функция
задана на интервале
.

Опр . Точка называется точкой локального максимума функции f (x )
.

Опр . Точка называется точкой локального минимума функции f (x ) , если в некоторой ее окрестности выполняется условие:
.

Значения функции в точках локального минимума и максимума называют минимумом и максимумом функции. Минимум и максимум функции объединяют в понятие «экстремум функции»

(extr f ).

Отметить отличия локального и глобального экстремумов.

Теорема (необходимое условие локального экстремума). Еслидифференцируемаяфункция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю:
.

Док-во. Если - точка экстремума дифференцируемой функции, то существует некоторая окрестность этой точки, в которой выполнены условия теоремы Ферма. Тогда ее производная
.

Замечание . Функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема (если эти точки входят в область определения). Например, функция
имеет экстремум в точке х=0, но не дифференцируема в ней.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются стационарными или критическими точками. Из теоремы следует, что точки локального экстремума функции являются ее критическими точками. Обратное утверждение неверно. Например, функция
имеет неотрицательную производную, т.е. возрастает на всей числовой оси, следовательно не имеет точек экстремума. В то же время,
является ее критической точкой.

Теорема (достаточное условие локального экстремума). Если при переходе через критическую точку производная дифференцируемой функции меняет знак с «+» на «-», то - точка локального максимума, если с «-» на «+», то - точка локального минимума.

Док-во. В соответствии с достаточным условием монотонности, функция возрастает слева от и убывает справа, тогда в силу непрерывности функции, является точкой максимума. Аналогичные рассуждения для минимума.

Замечание . Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в этой точке экстремума функции нет.

Теорема (2 достаточное условие локального экстремума) . Для того, чтобы функция имела локальный максимум (минимум) в критической точке , достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки существовала непрерывная вторая производная и
(
).

(без док-ва).

Пример. Найти экстремумы функции
;

Ее производная:
.

Определим критические точки:
,
- критические точки.

Определим знак производной в окрестностях критических точек.

- точка минимума,
- минимум функции;

- точка максимума,
- максимум функции.

§3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

При решении прикладных задач бывает нужно найти глобальные экстремумы функции на некотором промежутке. Если этот промежуток является отрезком, то экстремумы функция может достигать как в точках экстремума, так и на концах отрезка.

Пример . Найти наибольшее значение функции
на отрезке
.

Решение . Данная функция является непрерывной на данном отрезке (т.к. знаменатель не обращается в нуль), а следовательно, может принимать экстремальные значения либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Вычислим производную:

. Тогда критическими точками являются точки х=0 и х=-2 . Данному отрезку принадлежит только точка х=0 . Вычислим значения функции в точке экстремума и на концах отрезка:

,
,
. Сравнивая эти значения, заключаем, что наибольшее значение функции достигается в точке х=0 .

§4. Выпуклость функции. Точки перегиба.

Опр. Функция называется выпуклой вверх (выпуклой) на промежутке Х, если
. График выпуклой на промежутке Х функции расположен над любой ее секущей (и под любой ее касательной) на этом промежутке.

Аналогично вводится определение функции, выпуклой вниз (вогнутой).

выпуклая (вверх) вогнутая (выпуклая вниз)

Теорема (критерий выпуклости функции) . Пусть функция
дифференцируема в интервале (а,в) . Тогда для выпуклости функции вниз необходимо и достаточно, чтобы
монотонно возрастала на этом интервале. Для выпуклости функции вверх необходимо и достаточно, чтобы
монотонно убывала на этом интервале.

Следствие (достаточное условие выпуклости) . Если вторая производная дважды дифференцируемой функции неотрицательна (неположительна) внутри некоторого промежутка, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Опр . Точки, в которых график функции меняет направление выпуклости, называются точками перегиба графика функции.

Абсциссы точек перегиба являются точками экстремума первой производной.

Теорема (необходимое условие точки перегиба ). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю:
.

Абсциссы точек, в которых выполняется необходимое условие, называются критическими точками второго рода . Если перегиб графика есть, то только в таких точках.

Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть
- дважды дифференцируема в интервале (а,в) . Тогда если вторая производная при переходе через критическую точку второго рода меняет знак, то точка
является точкой перегиба графика функции.

Замечание . Если смены знака второй производной не происходит, то перегиба графика в точке нет.

Пример.
,
;
- точка перегиба.

Итак, чтобы найти интервалы выпуклости функции, нужно:

1. Найти вторую производную функции.

2. Найти точки, в которых
или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод о направлении выпуклости и точках перегиба на основании достаточных условий.

§5. Асимптоты графика функции.

Графики некоторых функций расположены на плоскости так, что при неограниченном удалении от начала координат они неограниченно приближаются к некоторым прямым, но не пересекают их. Такие прямые называются асимптотами функции.

Асимптоты могут быть горизонтальными, вертикальными, наклонными.

Прямая y = a называется горизонтальной асимптотой к графику функции y = f (x )
.

Прямая x = b называется вертикальной асимптотой к графику функции y = f (x ) , если существует конечный предел
.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах области определения.

Если у функции нет горизонтальных асимптот, то, возможно, есть наклонные.

Наклонная асимптота к графику функции существует в том случае, когда существуют конечные числа к и в , вычисляемые по формулам:

,
. Тогда наклонная асимптота задается уравнением y = kx + b . Если хотя бы одно из чисел к и в несобственное, то наклонных асимптот у графика функции нет.

§6. Общая схема исследования функции.

I . 1. Область определения.

2. Точки пересечения с осями координат.

3. Четность.

4. Периодичность.

5. непрерывность.

6. Асимптоты.

II . 7. Монотонность.

8. Точки экстремума, экстремумы.

10. Точки перегиба графика.

IV .11. Дополнительные точки.

12. Построение графика.

Теорема о пределе монотонной функции. Приводится доказательство теоремы, используя два метода. Также даны определения строго возрастающей, неубывающей, строго убывающей и невозрастающей функций. Определение монотонной функции.

Функция не ограничена сверху

1.1. Пусть число b конечное: .
1.1.2. Пусть функция не ограничена сверху.

.

при .

Обозначим . Тогда для любого существует , так что
при .
Это означает, что предел слева в точке b равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов функции в конечной точке»).

b рано плюс бесконечности

Функция ограничена сверху

1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2.1. Пусть функция ограничена сверху числом M : при .
Докажем, что в этом случае существует предел .

Поскольку функция ограничена сверху, то существует конечная верхняя грань
.
Согласно определению точной верхней грани, выполняются следующие условия:
;
для любого положительного существует такой аргумент , для которого
.

Поскольку функция не убывает, то при . Тогда при . Или
при .

Итак, мы нашли, что для любого существует число , так что
при .
«Определения односторонних пределов на бесконечности»).

Функция не ограничена сверху

1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2. Пусть число b равно плюс бесконечности: .
1.2.2. Пусть функция не ограничена сверху.
Докажем, что в этом случае существует предел .

Поскольку функция не ограничена сверху, то для любого числа M существует такой аргумент , для которого
.

Поскольку функция не убывает, то при . Тогда при .

Итак, для любого существует число , так что
при .
Это означает, что предел при равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов на бесконечности»).

Функция не возрастает

Теперь рассмотрим случай, когда функция не возрастает. Можно, как и выше, рассмотреть каждый вариант по отдельности. Но мы охватим их сразу. Для этого используем . Докажем, что в этом случае существует предел .

Рассмотрим конечную нижнюю грань множества значений функции:
.
Здесь B может быть как конечным числом, так и бесконечно удаленной точкой . Согласно определению точной нижней грани, выполняются следующие условия:
;
для любой окрестности точки B существует такой аргумент , для которого
.
По условию теоремы, . Поэтому .

Поскольку функция не возрастает, то при . Поскольку , то
при .
Или
при .
Далее замечаем, что неравенство определяет левую проколотую окрестность точки b .

Итак, мы нашли, что для любой окрестности точки , существует такая проколотая левая окрестность точки b , что
при .
Это означает, что предел слева в точке b равен :

(см. универсальное определение предела функции по Коши).

Предел в точке a

Теперь покажем, что существует предел в точке a и найдем его значение.

Рассмотрим функцию . По условию теоремы, функция является монотонной при . Заменим переменную x на - x (или сделаем подстановку , а затем заменим переменную t на x ). Тогда функция является монотонной при . Умножая неравенства на -1 и меняя их порядок приходим к выводу, что функция является монотонной при .

Аналогичным способом легко показать, что если не убывает, то не возрастает. Тогда согласно доказанному выше, существует предел
.
Если не возрастает, то не убывает. В этом случае существует предел
.

Теперь осталось показать, что если существует предел функции при , то существует предел функции при , и эти пределы равны:
.

Введем обозначение:
(1) .
Выразим f через g :
.
Возьмем произвольное положительное число . Пусть есть эпсилон окрестность точки A . Эпсилон окрестность определяется как для конечных, так и для бесконечных значений A (см. «Окрестность точки»). Поскольку существует предел (1), то, согласно определению предела, для любого существует такое , что
при .

Пусть a - конечное число. Выразим левую проколотую окрестность точки -a , используя неравенства:
при .
Заменим x на -x и учтем, что :
при .
Последние два неравенства определяют проколотую правую окрестность точки a . Тогда
при .

Пусть a - бесконечное число, . Повторяем рассуждения.
при ;
при ;
при ;
при .

Итак, мы нашли, что для любого существует такое , что
при .
Это означает, что
.

Теорема доказана.

Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале (a;b) , если для любых x 1 и x 2 x 1 , справедливо f(x 1) Например, функции y=a x , y=log a x при a>1, y=arctg x, y=arcsin x, (nÎN) возрастают на всей своей области определения.

График возрастающей функции

· Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a;b), если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 , справедливо f(x 1)>f(x 2). Например, функции y=a x , y=log a x при 0<a<1, y=arcctg x, y=arccos x убывают на всей своей области определения.

График убывающей функции

· Убывающие и возрастающие функции вместе образуют класс монотонных функций. Монотонные функции обладают рядом специальных свойств.

Функция f(х), монотонная на отрезке [а,b ], ограничена на этом отрезке;

· сумма возрастающих (убывающих) функций является возрастающей (убывающей) функцией;

· если функция f возрастает (убывает) и n – нечетное число, то также возрастает (убывает);

· если f"(x)>0 для всех xÎ(a,b), то функция y=f(x) является возрастающей на интервале (a,b);

· если f"(x)<0 для всех xÎ(a,b), то функция y=f(x) является убывающей на интервале (a,b);

· если f(x) – непрерывная и монотонная функция на множестве Х , то уравнение f(x)=C , где С – данная константа, может иметь на Х не более одного решения;

· если на области определения уравнения f(x)=g(x) функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает, то уравнение не может иметь более одного решения.

Теорема. (достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b ] функция у = f (х ) в каждой точке интервала (а, b ) имеет положи­тельную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b ].

Доказательство. Пусть >0 для всех хÎ (а,b ). Рассмотрим два произвольных значения x 2 > x 1 , принадлежащих [а, b ]. По формуле Лагранжа х 1 <с < х 2 . (с ) > 0 и х 2 – х 1 > 0, поэтому >0, откуда > , то есть функция f(х) возрастает на отрезке [а, b ]. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 3. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке c функция у = f (х ) имеет в этой точке экстремум, то .

Доказательство. Пусть, например, функция у = f (х ) имеет в точке c максимум. Это означает, что существует такая проколотая окрестность точки c, что для всех точек x этой окрестности выполняется f (x ) < f (c ), то есть f (c ) – наибольшее зна­чение функции в этой окрестности. Тогда по теореме Ферма .

Аналогично доказывается случай минимума в точке c.

Замечание. Функция может иметь экстремум в точке, в которой ее производная не существует. Например, функция имеет минимум в точке x = 0, хотя не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю или не сущест­вует, называются критическими точками функции. Однако не во всех критиче­ских точках функция имеет экстремум. Например, функция у = x 3 не имеет экс­тремумов, хотя ее производная =0.

Теорема 4. (достаточный признак существования экстремума). Если непрерывная функция у = f (x ) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку С (за исключением, может быть, самой этой точки), и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку С меняет знак с плюса на минус, то функция в точке С имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум.

Доказательство. Пусть c – критическая точка и пусть, например, при переходе аргумента через точку c меняет знак с плюса на минус. Это означает, что на некотором интервале(c–e; c) функция возрастает, а на интервале (c; c+e) – убывает (при e >0). Следовательно, в точке с функция имеет максимум. Аналогично доказывается случай минимума.

Замечание. Если производная не меняет знака при переходе аргумента через критическую точку, то функция в этой точке не имеет экстремума.

Так как определения предела и непрерывности для функции нескольких переменных практически совпадает с соответствующими определениями для функции одной переменной, то для функций нескольких переменных сохраняются все свойства пределов и непрерывных функций

Функция f (x ) называется возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2 , выполняется неравенство f (x 1) < f (x 2).

Функция f (x ) называется убывающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2 , выполняется неравенство f (x 1) > f (x 2).

Рисунок 1.3.5.1. Промежутки возрастания и убывания функции

На показанном на рисунке графике функция y = f (x ), возрастает на каждом из промежутков [a ; x 1) и (x 2 ; b ] и убывает на промежутке (x 1 ; x 2). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [a ; x 1) и (x 2 ; b ], но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f - монотонная функция на промежутке D (f (x )), то уравнение f (x ) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x 1 < x 2 - корни этого уравнения на промежутке D (f (x )), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D ).

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Точка a называется точкой максимума функции f a , что для любого x f (a ) ≥ f (x ).

Точка a называется точкой минимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a ) ≤ f (x ).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума .

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа - убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого (x ≠ a ) выполняется неравенство f (x ) ≤ f (a ) то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D :

Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

График 1.3.5.1. Функция, ограниченная сверху

График 1.3.5.2. Функция, ограниченная снизу

График 1.3.5.3. Функция, ограниченная на множестве D .

Наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на [а,b].