Найти работу электрического поля по перемещению заряда. Работа электрического поля по перемещению заряда. Электрическое поле. напряженность

Теперь известно, что на заряд, помещенный в электрическое поле, действует сила. Следовательно, перемещение заряда в элек­трическом поле будет сопровождаться работой

dA > 0 в случае, если работа совершается силами поля;

dA < 0 в случае, если работа совершается внешними силами против сил поля.

Рассмотрим перемещение пробного заряда Q 0 из точки 1 в точку 2 в поле сил, создаваемых зарядом Q.

Поле сил – центральное (рис. 73). Работа на пути dl будет равна

Отсюда работа по перемещению заряда из точки 1 в точку 2

Если работа совершается внешними силами, то

Электростатическое поле является потенциальным. Это значит, что работа по перемещению заряда не зависит от пути, по которому перемещается заряд, а зависит только от начального и конечного положения заряда.

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает по­тенциальной энергией, за счет которой совершается работа силами поля. Следовательно, полученное выражение для работы можно представить как разность потенциальных энергий заряда Q 0 в поле сил, созданном зарядом Q

Таким образом, потенциальная энергия в каждой точке поля зависит от величины пробного заряда Q 0 . Но если взять отношение W/Q 0 , то оно будет зависеть только от точки поля, и не будет зависеть от величины помещенного в эту точку за­ряда. Отношение = φ называют потенциалом поля.

Потенциалом электрического поля называется физическая величина, равная отношению потенциальной энергии, которую приобретает положи­тельный заряд Q 0 , если его переместить из в данную точку поля, к величине этого заряда

.

Из равенства А 12 = -А 21 следует другое определение.

Потенциалом поля называется физическая величина, чис­ленно равная работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом, при удалении его из данной точки поля в бесконечность.

Потенциал – величина скалярная. При суперпозиции (нало­жении) электрических полей потенциал суммарного электрического поля определяется как алгебраическая сумма потенциалов налагае­мых полей

Выражение для работы по перемещению заряда из точки с потен­циалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 имеет вид

A 12 = Q (φ 2 – φ 1).

Работа измеряется в Дж или эВ. 1эВ = 1,6 ∙10 -19 Дж.

Для наглядного изображения поля вместо линий напряжен­ности (силовых линий) можно воспользоваться поверхностями рав­ного потенциала или эквипотенциальными поверхностями. Экви­потенциальная поверхность – это такая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Если потенциал задан как функция координат x, y, z, то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

φ (x,y,z) = const.

Эквипотенциальные линии – линии, образующиеся от пересечения эквипотенциальной поверхности плоскостью проводятся так, что направление нормали к ним совпадает с направлением вектора в той же точке (рис.74).

Эквипотенциальную поверхность можно провести через лю­бую точку поля. Следовательно, таких поверхностей может быть бесконечное множество.

Условились, однако, проводить их таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних эквипотенциальных по­верхностей была всюду одна и та же. Тогда по их густоте можно судить о величине напряженности поля.

Электрическим полем является векторная диаграмма поля, возникающая возле электрически заряженных тел и частиц при изменении электромагнитного поля. Такое явление, как работу электростатического поля при перемещении в проводнике заряда, невозможно увидеть. Его можно проследить при воздействии на заряженные тела. То есть, чтобы оно появилось, необходимо приложить к ним электрический заряд. Главными параметрами электрически заряженного поля являются напряжение, потенциал и напряженность.

Физическое объяснение потенциала

На простом языке потенциал – это действие по переведению какого-либо тела из начального места в конечный пункт размещения. В электрическом поле – это энергия, двигающая электрон, в результате он перемещается с точки нулевого потенциала в другую точку, имеющую потенциал, не равный нулю.

Чем выше потенциал, потраченный на передвижение заряда, тем значительнее плотность потока на единице площади. Это явление можно сравнивать с законом гравитации: чем больше вес, тем выше энергия, а, значит, значительная плотность гравитационного поля.

В природе существуют заряды с незначительным потенциалом и с низкой степенью плотности, а также заряженные частицы с высоким потенциалом и насыщенной плотностью потока. Такое явление, как работа по перемещению заряда, наблюдается при грозе, когда в одном месте происходит истощение на электроны, а в другом – их насыщение, образовывающее такое электрически заряженное поле, когда происходит разряд в виде молнии.

Образование электрического поля и его особенности

Электрическое поле образовывается в таких случаях:

• при изменениях в электромагнитном поле (например, при электромагнитных колебаниях);
• при появлении заряженных частиц.

Электрически насыщенное поле проявляет на заряженные частицы определенное энергетическое влияние. Но эта сила не способна ускорять заряженные тела в пространстве. Кроме этого на них действует энергия магнитного поля.

Работа электростатического поля легко наблюдается в бытовой обстановке. Для этого достаточно взять какой-либо диэлектрический материал и потереть им об шерсть. Например, взять пластмассовую ручку и потереть об волосы. Результатом такого действия будет образование электрического поля вокруг ручки и появление заряда.

Из этого можно выработать вывод, что электрически насыщенное поле – это характерное состояние материи. Его основная функция – это силовое воздействие на заряженную частицу. Кроме этого оно владеет такими свойствами:

• набирает силу при усилении заряда;
• воздействует на заряженные частицы с определенной силой и не имеет границ;
• обнаруживается в процессе воздействия на заряженную часть материи.

Если заряды не подвижные, то такое электрически заряженное поле называется электростатическим. Его главное свойство – это не изменяемое во времени заряженное состояние, так как поле образуется за счет заряженных тел (пример с ручкой и волосами).

Понятие однородного электрического поля

Однородное электрически заряженное поле создается между двумя плоскими пластинами, имеющими разноименный заряд. У них линии напряженности имеют параллельную структуру.

Благодаря симметрическому свойству, электрическое поле оказывает одинаковое силовое воздействие на заряженные частицы. Работу такого электрического поля можно измерить без каких-либо зависимостей.

Энергия по перемещению положительно заряженной частицы

Электрически насыщенным полем можно назвать лавину заряженных частиц от плюса к минусу. Такое перемещение создает высокую степень напряженности в области потока. Потоком называется совокупность черт движения электронов, проходящих внутри электрического поля. Заряженные частицы двигаются всегда от положительно заряженного полюса к отрицательному заряженному полюсу.

Интенсивность воздействия поля на заряд в любой области определяется силой, действующей на заряженную частицу, помещенную в эту область электрически заряженного поля. Сама работа заключается в затраченной энергии для перемещения заряда в структуре проводника. Это действие можно найти с помощью закона Ома.

При перемещении заряда в электрическом поле он в разных областях:

• остается неизменным;
• уменьшается;
• увеличивается.

Энергия электрически насыщенного поля и потенциал частицы, имеющей определенный заряд, имеет пропорциональность к уровню самого заряда. Отношение потенциала заряженной частицы к ее заряду именуют потенциалом электрически заряженного поля в выбранной области.

На частицу, имеющую заряд, в электрически насыщенном поле влияет сила этого электрически заряженного поля. Эта сила создает энергию для передвижения заряженной частицы в самом поле. Большой заряд имеет большой потенциал.

Видео

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ.

Электрический заряд q - физическая величина, определяющая интенсивность электромагнитного взаимодействия.

[q] = l Кл (Кулон).

Атомы состоят из ядер и электронов. В состав ядра входят положительно заряженные протоны и не имеющие заряда нейтроны. Электроны несут отрицательный заряд. Количество электронов в атоме равно числу протонов в ядре, поэтому в целом атом нейтрален.

Заряд любого тела: q = ±Ne , где е = 1,6*10 -19 Кл - элементарный или минимально возможный заряд (заряд электрона), N - число избыточных или недостающих электронов. В замкнутой системе алгебраическая сумма зарядов остается постоянной:

q 1 + q 2 + … + q n = const.

Точечный электрический заряд - заряженное тело, размеры которого во много раз меньше расстояния до другого наэлектризованного тела, взаимодействующего с ним.

Закон Кулона

Два неподвижных точечных электрических заряда в вакууме взаимодействуют с силами, направленными по прямой, соединяющей эти заряды; модули этих сил прямо пропорциональны произведению зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:

Коэффициент пропорциональности

где - электрическая постоянная.

где 12 - сила, действующая со стороны второго заряда на первый, а 21 - со стороны первого на второй.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. НАПРЯЖЕННОСТЬ

Факт взаимодействия электрических зарядов на расстоянии можно объяснить наличием вокруг них электрического поля - материального объекта, непрерывного в пространстве и способного действовать на другие заряды.

Поле неподвижных электрических зарядов называют электростатическим.

Характеристикой поля является его напряженность.

Напряженность электрического поля в данной точке - это вектор, модуль которого равен отношению силы, действующей на точечный положительный заряд, к величине этого заряда, а направление совпадает с направлением силы.

Напряженность поля точечного заряда Q на расстоянии r от него равна

Принцип суперпозиции полей

Напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей каждого из зарядов системы:

Диэлектрическая проницаемость среды равна отношению напряженностей поля в вакууме и в веществе:

Она показывает во сколько раз вещество ослабляет поле. Закон Кулона для двух точечных зарядов q и Q , расположенных на расстоянии r в среде c диэлектрической проницаемостью:

Напряженность поля на расстоянии r от заряда Q равна

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ТЕЛА В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРО-СТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Между двумя большими пластинами, заряженными противоположными знаками и расположенными параллельно, поместим точечный заряд q .

Так как электрическое поле между пластинами с напряженностью однородное, то на заряд во всех точках действует сила F = qE , которая при перемещении заряда на расстояние вдоль совершает работу

Эта работа не зависит от формы траектории, то есть при перемещении заряда q вдоль произвольной линии L работа будет такой же.

Работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от формы траектории, а определяется исключительно начальным и конечным состояниями системы. Она, как и в случае с полем сил тяжести, равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

Из сравнения с предыдущей формулой видно, что потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле равна:

Потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня и поэтому сама по себе не имеет глубокого смысла.

ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЕ

Потенциальным называется поле, работа которого при переходе из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории. Потенциальными являются поле силы тяжести и электростатическое поле.

Работа, совершаемая потенциальным полем, равна изменению потенциальной энергии системы, взятой с противоположным знаком:

Потенциал - отношение потенциальной энергии заряда в поле к величине этого заряда:

Потенциал однородного поля равен

где d - расстояние, отсчитываемое от некоторого нулевого уровня.

Потенциальная энергия взаимодействия заряда q с полем равна .

Поэтому работа поля по перемещению заряда из точки с потенциалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 составляет:

Величина называется разностью потенциалов или напряжением.

Напряжение или разность потенциалов между двумя точками - это отношение работы электрического поля по перемещению заряда из начальной точки в конечную к величине этого заряда:

[U]=1Дж/Кл=1В

НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ И РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ

При перемещении заряда q вдоль силовой линии электрического поля напряженностью на расстояние Δ d поле совершает работу

Так как по определению, то получаем:

Отсюда и напряженность электрического поля равна

Итак, напряженность электрического поля равна изменению потенциала при перемещении вдоль силовой линии на единицу длины.

Если положительный заряд перемещается в направлении силовой линии, то направление действия силы совпадает с направлением перемещения, и работа поля положительна:

Тогда , то есть напряженность направлена в сторону убывания потенциала.

Напряженность измеряют в вольтах на метр:

[E]=1 B/м

Напряженность поля равна 1 В/м, если напряжение между двумя точками силовой линии, расположенными на расстоянии 1 м, равна 1 В.

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ

Если независимым образом измерять заряд Q , сообщаемый телу, и его потенциал φ, то можно обнаружить, что они прямо пропорциональны друг другу:

Величина С характеризует способность проводника накапливать электрический заряд и называется электрической емкостью. Электроемкость проводника зависит от его размеров, формы, а также электрических свойств среды.

Электроёмкостъ двух проводников - отношение заряда одного из них к разности потенциалов между ними:

Емкость тела равно 1 Ф , если при сообщении ему заряда 1 Кл оно приобретает потенциал 1 В.

КОНДЕНСАТОРЫ

Конденсатор - два проводника, разделенные диэлектриком, служащие для накопления электрического заряда. Под зарядом конденсатора понимают модуль заряда одной из его пластин или обкладок.

Способность конденсатора накапливать заряд характеризуется электроемкостью, которая равна отношению заряда конденсатора к напряжению:

Емкость конденсатора равна 1 Ф, если при напряжении 1 В его заряд равен 1 Кл.

Емкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин S , диэлектрической проницаемости среды, и обратно пропорциональна расстоянию между пластинами d :

ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО КОНДЕНСАТОРА.

Точные эксперименты показывают, что W=CU 2 /2

Так как q = CU , то

Плотность энергии электрического поля

где V = Sd - объем, занимаемый полем внутри конденсатора. Учитывая, что емкость плоского конденсатора

а напряжение на его обкладках U=Ed

получаем:

Пример. Электрон, двигаясь в электрическом поле из точки 1 через точку 2, увеличил свою скорость от 1000 до 3000 км/с. Определите разность потенциалов между точками 1 и 2.

§ 12.3 Работа сил электростатического поля. Потенциал. Эквипотенциальные поверхности

На заряд q пр помещённый в произвольную точку электростатического поля с напряжённостью Е, действует сила F= q пр E. Если заряд не закреплён, то сила заставит его перемещаться и, значит, будет совершаться работа. Элементарная работа, совершаемая силой F при перемещении точечного электрического заряда q пр из точки а электрического поля в точку b на отрезке пути dℓ, по определению, равна

(α - угол между F и направлением движения) (рис.12.13).

Если работа совершается внешними силами, то dA< 0 , если силами поля, то dA > 0. Интегрируя последнее выражение, получим, что работа против сил поля при перемещении q пр из точки a в точку b

(12.20)

Рисунок -12.13

(
- кулоновская сила, действующая на пробный зарядq пр в каждой точке поля с напряжённостью E).

Тогда работа

(12.21)

Перемещение совершается перпендикулярно вектору , следовательноcosα =1, работа переноса пробного заряда q пр от a к b равна

(12.22)

Работа сил электрического поля при перемещении заряда не зависит от формы пути, а зависит лишь от взаимного расположения начальной и конечной точек траектории.

Следовательно, электростатического поля точечного заряда является потенциальным , а электростатические силы – консервативными .

Это свойство потенциальных полей. Из него следует, что работа совершаемая в электрическом поле по замкнутому контуру, равна нулю:

(12.23)

Интеграл
называется циркуляцией вектора напряженности . Из обращения в нуль циркуляции вектора Е следует, что линии напряжённости электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются на положительных и кончаются на отрицательных зарядах.

Как известно, работа консервативных сил совершается за счёт убыли потенциальной энергии. Поэтому, работу сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд q пр в начальной и конечной точках поля заряда q:

(12.24)

откуда следует, что потенциальная энергия заряда q пр в поле заряда q равна

(12.25)

Для одноименных зарядов q пр q >0 и потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноимённых зарядов q пр q < 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создаётся системой n точечных зарядов q 1, q 2, …. q n , то потенциальная энергия U заряда q пр, находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий U i , создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

(12.26)

Отношение не зависят от зарядаq и является энергетической характеристикой электростатического поля.

Скалярная физическая величина, измеряемая отношением потенциальной энергии пробного заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называется потенциалом электростатического поля.

(12.27)

Потенциал поля, создаваемый точечным зарядом q, равен

(12.28)

Единица потенциала – вольт .

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q пр из точки 1 в точку 2 может быть представлена как

т.е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Разность потенциалов двух точек электростатического поля φ 1 -φ 2 равна напряжению. Тогда

Отношение работы, совершаемой электростатическим полем при перемещении пробного заряда из одной точки поля в другую, к величине этого заряда называется напряжением между этими точками.

(12.30)

Графически электрическое поле можно изображать не только с помощью линий напряжённости, но и с помощью эквипотенциальных поверхностей.

Эквипотенциальные поверхности – совокупность точек, имеющих одинаковый потенциал. Из рисунка видно, что линии напряжённости (радиальные лучи) перпендикулярны эквипотенциальным линиям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленноемножество (рис.12.14). Однако их проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряжённость поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряжённость поля больше. Зная расположение эквипотенциальных линий (поверхностей), можно построить линии напряжённости или по известному расположению линий напряжённости можно построить эквипотенциальные поверхности.

§ 12.4 Связь напряжённости и потенциала

Электростатическое поле имеет две характеристики: силовую (напряжённость) и энергетическую (потенциал). Напряжённость и потенциал – различные характеристики одной и той же точки поля, следовательно, между ними должна быть связь.

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и х 1 – х 2 = dx , равна qЕ х dx. Та же работа равна q(φ 1 - φ 2)= -dφq. Приравнивая оба выражения, можем записать

Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, можем найти вектор :

где
- единичные векторы координатных осей х, у,z.

Из определения градиента следует, что

или
(12.31)

т.е. напряжённость поля Е равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряжённости Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Установленная связь между напряжённостью и потенциалом позволяет по известной напряжённости поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.

Поле равномерно заряженной сферы радиусом R

Напряжённость поля вне сферы определяется по формуле

(r >R)

Разность потенциалов между точками r 1 и r 2 (r 1 >R; r 2 >R) определим, используя соотношение

Потенциал сферы получим, если r 1 = R, r 2 → ∞:

Поле равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра

Напряжённость поля вне цилиндра (r >R) определяется формулой

(τ – линейная плотность).

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r 1 и r 2 (r 1 >R; r 2 >R) от оси цилиндра, равна

(12.32)

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Напряжённость поля этой плоскости определяется формулой

(σ - поверхностная плотность).

Разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии х 1 и х 2 от плоскости, равна

(12.33)

Поле двух разноименно заряженных бесконечных параллельных плоскостей

Напряженность поля этих плоскостей определяется формулой

Разность потенциалов между плоскостями равна

(12.34)

(d – расстояние между плоскостями).

Примеры решения задач

Пример 12.1 . Три точечных заряда Q 1 =2нКл, Q 2 =3нКл и Q 3 =-4нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной длиной a =10см. Определите потенциальную энергию этой системы.

Дано : Q 1 =2нКл=2∙10 -9 Кл; Q 2 =3нКл=3∙10 -9 Кл; и Q 3 =-4нКл=4∙10 -9 Кл; a =10см=0,1м.

Найти : U .

Решение: Потенциальная энергия системы зарядов равна алгебраической сумме энергий взаимодействия каждой из взаимодействующих пар зарядов, т.е.

U=U 12 +U 13 +U 23

где соответственно потенциальные энергии одного из зарядов, находящегося в поле другого заряда на расстоянии а от него, равны

;
;
(2)

Подставим формулы (2) в выражение (1), найдём искомую потенциальную энергию системы зарядов

Ответ: U=-0,126мкДж.

Пример 12.2 . Определите потенциал в центре кольца с внутренним радиусом R 1 =30см и внешним R 2 =60см, если на нём равномерно распределён заряд q=5нКл.

Дано: R 1 =30см=0,3м; R 2 =60см=0,6м; q=5нКл=5∙10 -9 Кл

Найти : φ .

Решение: Кольцо разобьём на концентрические бесконечно тонкие кольца внутренним радиусом r и внешним – (r+dr).

Площадь рассматриваемого тонкого кольца (см.рисунок) dS=2πrdr.

Потенциал в центре кольца, создаваемый бесконечно тонким кольцом,

где – поверхностная плотность заряда.

Для определения потенциала в центре кольца следует арифметически сложить dφ от всех бесконечно тонких колец. Тогда

Учитывая, что заряд кольца Q=σS, где S= π(R 2 2 -R 1 2)- площадь кольца, получим искомый потенциал в центре кольца

Ответ : φ=25В

Пример 12.3. Два точечных одноименных заряда (q 1 =2нКл и q 2 =5нКл) находятся в вакууме на расстоянии r 1 = 20см. Определите работу А, которую надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r 2 =5см.

Дано: q 1 =2нКл=2 ∙10 -9 Кл; q 2 =5нКл=5 ∙10 -9 Кл; r 1 = 20см=0,2м; r 2 =5см=0,05м.

Найти : А.

Решение: Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q из точки поля, имеющей потенциал φ 1 , в точку с потенциалом φ 2 .

A 12 = q(φ 1 - φ 2)

При сближении одноимённых зарядов работу совершают внешние силы, поэтому работа этих сил равна по модулю, но противоположна по знаку работе кулоновских сил:

A= -q(φ 1 - φ 2)= q(φ 2 - φ 1). (1)

Потенциалы точек 1 и 2 электростатического поля

;
(2)

Подставив формулы (2) в выражение (1), найдём искомую работу, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды,

Ответ: А=1,35 мкДж.

Пример 12.4. Электростатическое поле создаётся положительно заряженной бесконечной нитью. Протон, двигаясь под действием электростатического поля вдоль линии напряжённости от нити с расстояния r 1 =2см до r 2 =10см, изменил свою скорость от υ 1 =1Мм/с до υ 2 =5Мм/с. Определите линейную плотность τ заряда нити..

Дано: q=1,6∙10 -19 Кл; m=1,67∙10 -27 кг; r 1 =2см=2∙10 -2 м; r 2 = 10см=0,1м; r 2 =5см=0,05м; υ 1 =1Мм/с=1∙10 6 м/с; до υ 2 =5Мм/с=5∙10 6 м/с.

Найти : τ .

Решение: Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении протона из точки поля с потенциалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 идёт на увеличение кинетической энергии протона

q(φ 1 - φ 2)=ΔТ (1)

В случае нити электростатическое поле обладает осевой симметрией, поэтому

или dφ=-Edr,

тогда разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстоянии r 1 и r 2 от нити,

(учли, что напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной нитью,
).

Подставив выражение (2) в формулу (1) и учитывая, что
, получим

Откуда искомая линейная плотность заряда нити

Ответ : τ = 4,33 мкКл/м.

Пример 12.5. Электростатическое поле создаётся в вакууме шаром радиусом R =8см, равномерно заряженными с объёмной плотностью ρ=10нКл/м 3 . Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими от центра шара на расстояниях: 1) r 1 =10см и r 2 =15см; 2) r 3 = 2см и r 4 =5см..

Дано: R=8см=8∙10 -2 м; ρ=10нКл/м 3 =10∙10 -9 нКл/м 3 ; r 1 =10см=10∙10 -2 м;

r 2 =15см=15∙10 -2 м; r 3 = 2см=2∙10 -2 м; r 4 =5см=5∙10 -2 м.

Найти : 1) φ 1 - φ 2 ; 2) φ 3 - φ 4 .

Решение: 1) Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r 1 и r 2 от центра шара.

(1)

где
- напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженным с объёмной плотностью ρ шаром, в любой точке, лежащей вне шара на расстоянииr от его центра.

Подставив это выражение в формулу (1) и проинтегрировав, получим искомую разность потенциалов

2) Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r 3 и r 4 от центра шара,

(2)

где
- напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженным с объёмной плотностью ρ шаром, в любой точке, лежащей внутри шара на расстоянииr от его центра.

Подставив это выражение в формулу (2) и проинтегрировав, получим искомую разность потенциалов

Ответ : 1) φ 1 - φ 2 =0,643 В; 2) φ 3 - φ 4 =0,395 В

На всякий заряд в электрическом поле действует сила, которая может перемещать этот заряд. Определить работу А перемещения точечного положительного заряда q из точки О в точку n, совершаемую силами электрического поля отрицательного заряда Q. По закону Кулона сила, перемещающая заряд, является переменной и равной

Где r-переменное расстояние между зарядами.

; Это выражение можно получить так

Величина представляет собой потенциальную энергию W п заряда в данной точке электрического поля:

Знак (-) показывает, что при перемещении заряда полем его потенциальная энергия убывает, переходя в работу перемещения.

Величина равная потенциальной энергии единичного положительного заряда (q=+1), называется потенциалом электрического поля.

Тогда

Таким образом, разность потенциалов двух точек поля равна работе сил поля по перемещению, единичного положительного заряда из одной точки в другую.

Потенциал точки электрического поля равен работе по перемещению единичного положительного заряда из данной точки на бесконечность.

Единица измерения - Вольт =Дж/Кл

Работа перемещения заряда в электрическом поле не зависит от формы пути, а зависит только от разности потенциалов начальной и конечной точек пути.

Поверхность, во всех точках которой потенциал одинаков, называется эквипотенциальной.

Напряженность поля является его силовой характеристикой, а потенциал –энергетической.

Связь между напряженностью поля и его потенциалом выражается формулой

,

Знак (-) обусловлен тем, что напряженность поля направлена в сторону убывания потенциала, а в сторону возрастания потенциала.

5. Использование электрического поля в медицине.

Франклинизация, или «электростатический душ», представляет собой лечебный метод, при котором организм больного или отдельные участки его подвергаются воздействию постоянного электрического поля высокого напряжения.

Постоянное электрическое поле при процедуре общего воздействия может достигать 50 кВ, при местном воздействии 15-20кВ.

Механизм лечебного действия. Процедуру франклинизации проводят таким образом, что голова больного либо другой участок тела становятся как бы одной из пластин конденсатора, в то время как второй является электрод, подвешенный над головой, или устанавливаемый над местом воздействия на расстоянии 6-10см. Под влиянием высокого напряжения под остриями игл, закрепленных на электроде, возникает ионизация воздуха с образованием аэроионов, озона и окислов азота.

Вдыхание озона и аэроионов вызывает реакцию сосудистой сети. После кратковременного спазма сосудов происходит расширение капилляров не только поверхностных тканей, но и глубоких. В результате улучшаются обменно-трофические процессы, а при наличии повреждения тканей стимулируются процессы регенерации и восстановления функций.

В результате улучшения кровообращения, нормализации обменных процессов и функции нервов происходит уменьшение головных болей, повышенного артериального давления, повышенного сосудистого тонуса, урежению пульса.

Применение франклинизации показано при функциональных расстройствах нервной системы

Примеры решения задач

1. При работе аппарата для франклинизации ежесекундно в 1 см 3 воздуха образуется 500000 легких аэроионов. Определить работу ионизации, необходимую для создания в 225 см 3 воздуха такого же количества аэроионов за время лечебного сеанса (15 мин). Потенциал ионизации молекул воздуха считать равным 13,54 В, условно считать воздух однородным газом.

-потенциал ионизации, А –работа ионизации, N-количество электронов.

2. При лечении электростатическим душем на электродах электрической машины приложена разность потенциалов 100кВ. Определить, какой заряд проходит между электродами за время одной процедуры лечения, если известно, что силы электрического поля при этом совершают работу 1800Дж.

Отсюда

Электрический диполь в медицине

В соответствии с теоремой Эйтховена, лежащей в основе электрокардиографии, сердце представляет собой электрический диполь, расположенный в центре равностороннего треугольника (треугольник Эйтховена), вершины которого условно можно считать,

находящимися в правой руке, левой руке и левой ноге.

За время сердечного цикла изменяется как положение диполя в пространстве, так и дипольный момент. Измерение разности потенциалов между вершинами треугольника Эйтховена позволяет определить соотношение между проекциями дипольного момента сердца на стороны треугольника следующим образом:

Зная напряжения U AB , U BC , U AC можно определить, как ориентирован диполь относительно сторон треугольника.

В электрокардиографии разность потенциалов между двумя точками тела (в данном случае между вершинами треугольника Эйтховена) называется отведением.

Регистрация разности потенциалов в отведениях в зависимости от времени называется электрокардиограммой.

Геометрическое место точек конца вектора дипольного момента за время сердечного цикла называется вектор-кардиограммой .

Лекция №4

Контактные явления

1. Контактная разность потенциалов. Законы Вольта.

2. Термоэлектричество.

3. Термопара, ее использование в медицине.

4. Потенциал покоя. Потенциал действия и его распространение.

1. При тесном соприкосновении разнородных металлов между ними возникает разность потенциалов, зависящая только от их химического состава и температуры (первый закон Вольты).

Эта разность потенциалов называется контактной.

Для того, чтобы покинуть металл и уйти в окружающую среду, электрон должен совершить работу против сил притяжения к металлу. Эта работа называется работой выхода электрона из металла.

Приведем в контакт два различных металла 1 и 2, имеющих работу выхода соответственно A 1 и A 2, причем A 1 < A 2 . Очевидно, что свободный электрон, попавший в процессе теплового движения на поверхность раздела металлов, будет втянут во второй металл, так как со стороны этого металла на электрон действует большая сила притяжения (A 2 > A 1). Следовательно, через контакт металлов происходит «перекачка» свободных электронов из первого металла во второй, в результате чего первый металл зарядится положительно, второй отрицательно. Возникающая при этом разность потенциалов создает электрическое поле напряженностью Е, которое затрудняет дальнейшую «перекачку» электронов и совсем прекратит ее, когда работа перемещения электрона за счет контактной разности потенциалов станет равна разности работ выхода:

(1)

Приведем теперь в контакт два металла с A 1 = A 2 , имеющие различные концентрации свободных электронов n 01 >n 02 . Тогда начнется преимущественный перенос свободных электронов из первого металла во второй. В результате первый металл зарядится положительно, второй – отрицательно. Между металлами возникнет разность потенциалов , которая прекратит дальнейший перенос электронов. Возникающая при этом разность потенциалов определяется выражением:

, (2)

где k-постоянная Больцмана

В общем случае контакта металлов, различающихся и работой выхода и концентрацией свободных электронов к.р.п. из (1) и (2) будет равна

(3)

Легко показать, что сумма контактных разностей потенциалов последовательно соединенных проводников равна контактной разности потенциалов, создаваемой концевыми проводниками, и не зависит от промежуточных проводников.

Это положение называется вторым законом Вольты.

Если теперь непосредственно соединить концевые проводники, то существующая между ними разность потенциалов компенсируется равной по величине разностью потенциалов , возникающей в контакте 1 и 4. Поэтому к.р.п. не создает тока в замкнутой цепи металлических проводников, имеющих одинаковую температуру.

2. Термоэлектричество – это зависимость контактной разности потенциалов от температуры.

Составим замкнутую цепь из двух разнородных металлических проводников 1 и 2. Температуры контактов a и b будем поддерживать различными Т a > T b . Тогда, согласно формуле (3), к.р.п. в горячем спае больше, чем в холодном:

В результате между спаями a и b возникает разность потенциалов

Называемая термоэлектродвижущей силой, а в замкнутой цепи пойдет ток I. Пользуясь формулой (3), получим

Где для каждой пары металлов

3. Замкнутая цепь проводников, создающая ток за счет различия температуры контактов между проводниками, называется термопарой.

Из формулы (4) следует, что термоэлектродвижущая сила термопары пропорциональна разности температур спаев (контактов).

Формула (4) справедлива и для температур по шкале Цельсия:

Термопарой можно измерить только разности температур. Обычно один спай поддерживается при 0ºС. Он называется холодным спаем. Другой спай называется горячим или измерительным.

Термопара обладает существенными преимуществами перед ртутными термометрами: она чувствительна, безинерционна, позволяет измерять температуру малых объектов, допускает дистанционные измерения.

Измерение предела температурного поля тела человека.

Считается, что температура тела человека постоянна, однако это постоянство относительно, поскольку в различных участках тела температура неодинакова и меняется в зависимости от функционального состояния организма.

Температура кожи имеет свою вполне определенную топографию. Самую низкую температуру (23-30º) имеют дистальные отделы конечностей, кончик носа, ушные раковины. Самая высокая температура – в подмышечной области, в промежности, области шеи, губ, щек. Остальные участки имеют температуру 31-33,5ºС.

У здорового человека распределение температур симметрично относительно средней линии тела. Нарушение этой симметрии и служит основным критерием диагностики заболеваний методом построения профиля температурного поля с помощью контактных устройств: термопары и термометра сопротивления.

4 . Поверхностная мембрана клетки не одинаково проницаема для разных ионов. Кроме того, концентрация каких-либо определенных ионов различна по разные стороны мембраны, внутри клетки поддерживается наиболее благоприятный состав ионов. Эти факторы приводят к появлению в нормально функционирующей клетке разности потенциалов между цитоплазмой и окружающей средой (потенциал покоя)

При возбуждении разность потенциалов между клеткой и окружающей средой изменяется, возникает потенциал действия, который распространяется в нервных волокнах.

Механизм распространения потенциала действия по нервному волокну рассматривается по аналогии с распространением электромагнитной волны по двухпроводной линии. Однако, наряду с этой аналогией существуют и принципиальные различия.

Электромагнитная волна, распространяясь в среде, ослабевает, так как ее энергия рассеивается, превращаясь в энергию молекулярно-теплового движения. Источником энергии электромагнитной волны является ее источник: генератор, искра и т.д.

Волна возбуждения не затухает, так как получает энергию из самой среды, в котрой она распространяется (энергия заряженной мембраны).

Таким образом, распространение потенциала действия по нервному волокну происходит в форме автоволны. Активной средой являются возбудимые клетки.

Примеры решения задач

1. При построении профиля температурного поля поверхности тела человека используется термопара с сопротивлением r 1 =4Ом и гальванометр с сопротивлением r 2 =80Ом; I=26мкА при разности температур спаев ºС. Чему равна постоянная термопары?

Термоэдс, возникающая в термопаре, равна

(1) где термопары, -разность температур спаев.

По закону Ома для участка цепи где U принимаем как . Тогда

Лекция №5

Электромагнетизм

1. Природа магнетизма.

2. Магнитное взаимодействие токов в вакууме. Закон Ампера.

4. Диа-, пара- и ферромагнитные вещества. Магнитная проницаемость и магнитная индукция.

5. Магнитные свойства тканей организма.

1 . Вокруг движущихся электрических зарядов (токов) возникает магнитное поле, посредством которого эти заряды взаимодействуют с магнитными или другими движущимися электрическими зарядами.

Магнитное поле является силовым полем, его изображают посредством магнитных силовых линий. В отличие от силовых линий электрического поля магнитные силовые линии всегда замкнуты.

Магнитные свойства вещества обусловлены элементарными круговыми токами в атомах и молекулах этого вещества.

2 . Магнитное взаимодействие токов в вакууме. Закон Ампера .

Магнитное взаимодействие токов изучалось с помощью подвижных проволочных контуров. Ампер установил, что величина силы взаимодействия двух малых участков проводников 1 и 2 с токами пропорциональна длинам и этих участков, силам тока I 1 и I 2 в них и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между участками:

Выяснилось, что сила воздействия первого участка на второй зависит от их взаиморасположения и пропорциональна синусам углов и .