Какие свойства преобразования подобия вы знаете. Преобразование подобия. Подобные фигуры.Гомотетия. Смотреть что такое "Преобразование подобия" в других словарях

>>Математика: Преобразование подобия

Лекция №16

Преобразование подобия. Гомотетия. Виды подобия.

Классификация подобий плоскости. Группа подобия и ее подгруппы.

Определение 16.1 . Преобразование плоскости называется преобразованием подобия, если k > 0, что для любых двух точек А и B и их образов A ` и B ` выполняется равенство
.

При k =1 преобразование подобия сохраняет расстояние, т.е. является движением. Значит, движение – частный случай подобия.

Определение 16.2. Преобразование плоскости называется гомотетией, если существует некоторое число m1 , что для любых трех точек плоскости М, М, M ` выполняется условие
.

Точка М - центр гомотетии, числоm – коэффициент гомотетии. Если m > 0 – гомотетия положительна, если m < 0 – гомотетия отрицательна.

Теорема 16.3. Гомотетия есть подобие.

Доказательство:

,
.

2. По определению гомотетии имеем:

3. Вычтем из первого равенства второе: ,

. Значит, гомотетия есть подобие, где коэффициент гомотетии
равен коэффициенту подобия.

Если точка М (x , у) при гомотетии переходит в точкуM`(x`,y`), то:

- аналитические выражения гомотетии.

Свойства гомотетии

Гомотетия с коэффициентом, отличным от 1, переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в прямую, ей параллельную; прямую, проходящую через центр – в себя.

Гомотетия сохраняет простое отношение трех точек.

Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.

Гомотетия переводит угол в равный ему угол.

Теорема 16.4. Пусть f – преобразование подобия с коэффициентом k > 0 , а h – гомотетия с коэффициентом k и центром в точке М . Тогда существует единственное движение g такое, что f = g ∙ h .

Доказательство:

Рассмотрим композицию движения и гомотетии(помножим обе части равенства (*) на гомотетию):
илиg ∙ h = f (**)

Гомотетия обладает всеми свойствами движений, подобие также обладает всеми свойствами движений.

Так как гомотетия сохраняет ориентацию, а подобие есть произведение движения на гомотетию, т.е. движение имеет одну ориентацию с гомотетией, то подобие также имеет эту ориентацию. В этом случае говорят о подобии 1-го рода.

Если движение имеет ориентацию, противоположную гомотетии, то в этом случае подобие имеет противоположную ориентацию и является подобием 2-го рода.

Аналитические выражения подобия

Так какгомотетия задается выражениями , движение задается выражениями, то координаты образа
точки
в преобразовании подобия
вычисляются по формулам:

Если ε = 1, то подобие первого рода;

Если ε = -1, то подобие второго рода.

Теорема 16.5. Любое преобразование подобия имеет только одну неподвижную точку в том случае, если оно отлично от движения.

Доказательство:

1. Точка
является неподвижной точкой этого преобразования тогда и только тогда, когда
. Из аналитических выражений подобия следует, что

Определитель системы не равен 0 при ε = ± 1 . Таким образом, при k 1 для любого имеем, что определитель не равен нулю и, следовательно, система является однородной, т.е. будет иметь единственное решение.

Классификация подобия

Подобие первого рода.

Подобие второго рода.

Следствие16.6. Любое преобразование подобия, имеющее более чем одну неподвижную точку или не имеющее неподвижных точек, является движением.

Группа подобия и ее подгруппы.

Пусть P – множество всех преобразований подобия плоскости, и на нем задана некоторая операция «∙».

Множество Р является группой относительно этой операции.

Действительно:

Подобие первого рода образует подгруппу группы Р. Множество гомотетий с коэффициентом k (равным коэффициенту подобия) образует подгруппу группы Р.

Множество подобий второго рода не образует подгруппу, т.к. произведение подобий второго рода дает подобие первого рода.

Тема урока: Преобразование подобия. Подобные фигуры.Гомотетия

Тип урока: урок сообщения и усвоения новых знаний.

Цели урока:

Образовательные:

дать понятие преобразования подобия фигур;

свойства преобразования подобия;

Развивающие:

1 .Развивать практические навыки применения подобия фигур при решении задач.

2. Создавать условия для реальной оценки у обучающихся своих знаний и возможностей.

Воспитательные:

1 .Воспитание навыков контроля и взаимоконтроля.

2.Воспитание аккуратности при выполнении чертежей и записей

Ход урока.

1. Организация на урок. подготовка учащихся к восприятию новых знаний, сообщение темы и целей урока.

2. Постановка цели:

знать : определение и свойства преобразования подобия, гомотетия

уметь: строить подобные и гомотетичные фигуры с данным коэффициентом подобия

3. Актуализация прежних знаний

Повторение пройденного материала, тесно связанного с изучением нового (фронтально устно, МД) Работа у доски

Определите вид преобразований:

Что общего между этими преобразованиями?

Свойства движения:

При движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок.

Сохраняются расстояния между точками.

Сохраняются углы между лучами.

Следствие: При движении фигура переходит в равную ей фигуру!!!

4. Объяснение нового материала (лекция с опорным конспектом, СР с учебником -конспектирование)

Сначала выполните следующее задание: начертите у себя в тетрадях, а мы на доске, схематично план класса.

Почему стол на плане изображен прямоугольником(а не кругом или

квадратом)?

Чем отличаются и что имеют общего стол на планах на доске и в тетрадях? (отличаются размерами, но имеют одну и ту же форму).

В жизни часто встречаются предметы, имеющие одинаковую форму, но различные размеры. Таковы, например, фотографии одного и того же лица, изготовленные с одного негатива в различных размерах, планы здания или целого города, местности, вычерченные в различных масштабах.

Такие фигуры принято называть подобными , а преобразование, переводящее одну фигуру F в подобную фигуру F, называют преобразованием подобия.

Демонстрируются плакаты с изображением фигур, имеющих одинаковую форму, но различные размеры. Учащимся предлагается привести примеры таких предметов из жизни.

Для того, чтобы дать строгое математическое определение преобразования подобия надо выделить свойства этого преобразования.

Перед каждым учащимся лежит карточка (рис. 1)

Даны подобные фигуры F и F. Измерьте и сравните расстояния АВ и АВ, ВС и В 1 С 1 и т.д. Какую можно заметить зависимость между расстояниями у подобных фигур? (Все расстояния изменяются в одно и то же число раз, на чертеже в 2 раза).

Преобразование при котором фигура сохраняет вид, но изменяет размеры  называется преобразованием подобия

т.е. ХУ" = к·ХУ; АВ= к ·АВ.

Число к называется коэффициентом подобия.

Преобразование подобия имеет широкое практическое применение, в частности, при выполнении деталей машин, составлении карт и планов местности. При этом коэффициент подобия называется масштабом.

Частным случаем преобразования подобия является преобразование гомотетии .

Пусть F данная фигура, О – фиксированная точка, к – положительное число. Через произвольную точку Х фигуры F проведем луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ" равный к ·ОХ.

Любой точке Х на плоскости будет соответствовать точка Х" удовлетворяющая равенству ОХ"= к ОХ,преобразование называется гомотетией, относительно центра О с коэффициентом к.

Число к называется коэффициентом гомотетии , а фигуры F и F называются гомотетичными.

-

Для фигур F и F" укажите гомотетичные точки. Как располагается любая пара точек и центр О? (На одном луче).

Какая особенность в расположении гомотетичных отрезков? (Они параллельны ).

Всегда ли подобные фигуры гомотетичны? (Обратиться к карточке рис.2)

А всегда ли гомотетичные фигуры подобны?

Ответ на последний вопрос дает теорема: Гомотетия есть преобразование подобия.

Составьте постер: Преобразование подобия (свойства)

расстояние между любыми двумя точками увеличиваются или уменьшаются в одно тоже число раз

соответствующие стороны подобных фигур параллельны

При гомотетии сохраняются только углы!!!

центр и гомотетичные точки расположены на одной прямой

5,Проверка понимания нового материала :

Построить точку (отрезок, фигуру) гомотетичную данной, если коэффициент гомотетии равен к.

) к = 2 б) к = 3 в) к = 2

Практическая работа на карточках в 2 вариантах :

Вариант 1.

Дан прямоугольник и точка О. Построить фигуру, гомотетичную данному прямоугольнику относительно центра О с коэффициентом k = -2.

Вариант 2.

Дан квадрат и точка О. Построить фигуру, гомотетичную данному квадрату относительно центра О с коэффициентом k = 0,5.

В зависимости от подготовленности класса, можно организовать обмен карточками между соседями.

6 . Итог урока: (систематизация и обобщение знаний;)

Отметить учащихся, активно работавших на уроке. Сообщить и прокомментировать выставленные оценки

7. Домашнее задание § №

Геометрия

Подобие фигур

Свойства подобных фигур

Теорема. Когда фигура подобна фигуре , а фигура - фигуре , то фигуры и подобные.
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. Например, в подобных треугольниках ABC и :
; ; ;
.

Признаки подобия треугольников

Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам второго треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Теорема 3. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны.
Из этих теорем вытекают факты, которые являются полезными для решения задач.
1. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному.
На рисунке .

2. У подобных треугольников соответствующие элементы (высоты, медианы, биссектрисы и т.д.) относятся как соответствующие стороны.
3. У подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.
4. Если О - точка пересечения диагоналей трапеции ABCD , то .
На рисунке в трапеции ABCD: .

5. Если продолжение бічих сторон трапеции ABCD пересекаются в точке K , то (см. рисунок).
.

Подобие прямоугольных треугольников

Теорема 1. Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то они подобны.
Теорема 2. Если два катеты одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам второго прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.
Теорема 3. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе второго прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема 4. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разбивает треугольник на два прямоугольных треугольника, подобные данному.
На рисунке .

Из подобия прямоугольных треугольников вытекает такое.
1. Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:
; ,
или
; .
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:
, или .
3. Свойство биссектрисы треугольника:
биссектриса треугольника (произвольного) делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
На рисунке в BP - биссектриса .
, или .

Сходство равносторонних и равнобедренных треугольников

1. Все равносторонние треугольники подобные.
2. Если равнобедренные треугольники имеют равные углы между боковыми сторонами, то они подобны.
3. Если равнобедренные треугольники имеют пропорциональные основание и боковую сторону, то они подобны.