Интерполяционный многочлен в форме ньютона. Интерполяционные формулы ньютона Схема алгоритма интерполяции по формуле Лагранжа с заданной точностью

Интерполяция применяется во многих задачах, связанных с вычислениями. Укажем некоторые из этих задач. Обработка физического эксперимента – построение приближенных формул по данным вычислительного эксперимента. Здесь возникают нестандартные задачи интерполяции, так как обычно пишутся формулы, возможно, более простой структуры.

Интерполяционные формулы используются также при вычислении интегралов, при написании разностных аппроксимаций для дифференциальных уравнений, на основе интегральных тождеств.
Часто требуется восстановить функцию f(x) на отрезке a ≤ x ≤ b , если известны её значения в некотором конечном числе точек этого отрезка.

На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано, прежде всего, с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций. Мы рассмотрим более подробно метод Ньютона.

В таблице 1 приведены данные временной сложности алгоритмов.

Таблица 1

Входные данные:
x — координата, в которой необходимо вычислить.
n – Количество узлов.
Step – шаг интерполяции
Множество MasX – Значения x .
Множество MasY – Значения f(x) .

Выходные данные:
res – значение полинома в точке x .

Алгоритмическая модель метода Ньютона:
Множество mas мощностью |n + 2, n + 1|; Для всех i от 0..2: Для всех j от 0..n+1: Если i = 0: masi,j = MasXj; иначе Если i = 1: masi,j = MasYj; m = n; Для всех i от 2..n+2: Для всех j от 0..m: masi,j = mas(i-1),(j+1) – mas(i–1),j; m = m-1; Множество dy0 мощностью |n + 1|; Для всех i от 0..n+1: dy0i = mas(i + 1),0; res = dy00; Множество xn мощностью |n|; xn0 = x - mas0,0; Для всех i от 1..n: ans = xni - 1 * (x - mas0, i); xni = ans; ans = 0; m1 = n + 1; fact = 1; Для всех i от 1..m1: fact = fact * i; res = res + (dy0i * xni - 1) / (fact * stepi);

На рисунке 1 изображена схема интерполяции метода Ньютона.


Рисунок 1 — интерполяция метода Ньютона

// x - координата, в которой необходимо вычислить значение полинома Ньютона; n - количество узлов; MasX - массив x; MasY - массив значений x; step - шаг public double Newton(double x, int n, double MasX, double MasY, double step) { double[,] mas = new double; for (int i = 0; i < 2; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { if (i == 0) mas = MasX[j]; else if (i == 1) mas = MasY[j]; } } int m = n; for (int i = 2; i < n + 2; i++) { for (int j = 0; j < m; j++) { mas = mas - mas; } m--; } double dy0 = new double; for (int i = 0; i < n + 1; i++) { dy0[i] = mas; } double res = dy0; double xn = new double[n]; xn = x - mas; for (int i = 1; i < n; i++) { double ans = xn * (x - mas); xn[i] = ans; ans = 0; } int m1 = n + 1; int fact = 1; for (int i = 1; i < m1; i++) { fact = fact * i; res = res + (dy0[i] * xn) / (fact * Math.Pow(step, i)); } return res; }

Составим таблицу значений для f(x) = x^3.

Найдем полимер в точке 2.1: f(2.1) = 2.1^3=9,261

С помощью программной функции мы получили такой же результат (Рисунок 2).


Рисунок 2 — применение функции

Нами были рассмотрены основные метода интерполяции многочленами. На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано, прежде всего, с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций. Мы рассмотрели более подробно метод Ньютона.

Мы построили математическое описание методов, после чего приступили к разработке схемы программы.

Разработали программу реализующую интерполяцию метода Ньютона, на языке C# в Visual Studio 2012.

Протестировали программу, все тесты на основе заданных нами данных были успешно пройдены.

Довольно распространенным методом интерполирования является метод Ньютона. Интерполяционный полином для этого метода имеет вид:

P n (x) = a 0 + a 1 (x-x 0) + a 2 (x-x 0)(x-x 1) + ... + a n (x-x 0)(x-x 1)...(x-x n-1).

Задача состоит в отыскании коэффициентов a i полинома P n (x). Коэффициенты находят из уравнения:

P n (x i) = y i , i = 0, 1, ..., n,

позволяющего записать систему:

a 0 + a 1 (x 1 - x 0) = y 1 ;

a 0 + a 1 (x 2 - x 0) + a 2 (x 2 - x 0)(x 2 - x 1) = y 2 ;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a 0 +... + a n (x n - x 0)(x n - x 1) ... (x n - x n-1) = y n ;

Используем метод конечных разностей. Если узлы x i заданы через равные промежутки h, т.е.

x i+1 - x i = h,

то в общем случае x i = x 0 + i×h, где i = 1, 2, ..., n. Последнее выражение позволяет привести решаемое уравнение к виду

y 1 = a 0 + a 1 ×h;

y 2 = a 0 + a 1 (2h) + a 2 (2h)h;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

y i = a 0 + a 1 ×i×h + a 2 ×i×h[(i-1)h] + ... + a i ×i!×h i ,

откуда для коэффициентов получаем

где Dу 0 – первая конечная разность.

Продолжая вычисления, получим:

где D 2 у 0 - вторая конечная разность, представляющая собой разность разностей. Коэффициент а i можно представить в виде:

Поставляя найденные значения коэффициентов а i в значения для P n (x), получим интерполяционный полином Ньютона:

Преобразуем формулу, для чего введем новую переменную , где q – число шагов, необходимых для достижения точки х, двигаясь из точки х 0 . После преобразований получаем:

Полученная формула известна как первая интерполяционная формула Ньютона, или формула Ньютона для интерполирования "вперед". Ее выгодно использовать для интерполирования функции y = f(x) в окрестности начального значения х – х 0 , где q мало по абсолютной величине.

Если записать интерполяционный многочлен в виде:

то аналогичным образом можно получить вторую интерполяционную формулу Ньютона, или формулу Ньютона для интерполирования "назад":

Ее обычно используют для интерполирования функции вблизи конца таблицы.

При изучении данной темы необходимо помнить, что интерполяционные многочлены совпадают с заданной функцией f(x) в узлах интерполяции, а в остальных точках, в общем случае, будут отличаться. Указанная ошибка дает нам погрешность метода. Погрешность метода интерполяции определяется остаточным членом, который для формул Лагранжа и Ньютона одинаков и который позволяет получить следующую оценку для абсолютной погрешности:

Если интерполирование осуществляется с одинаковым шагом, то формула для остаточного члена видоизменяется. В частности, при интерполировании "вперед" и "назад" по формуле Ньютона выражение для R(x) несколько отличаются друг от друга.

Анализируя полученную формулу, видно, что погрешность R(x) представляет собой, с точностью до постоянной произведение двух множителей, из которых один, f (n+1) (x), где x лежит внутри , зависит от свойств функции f(x) и не поддается регулированию, а величина другого,

определяется исключительно выбором узлов интерполирования.

При неудачном расположении этих узлов верхняя граница модуля |R(x)| может быть весьма большой. Поэтому возникает задача о наиболее рациональном выборе узлов интерполирования x i (при заданном числе узлов n) с тем, чтобы полином П n+1 (х) имел наименьшее значение.

При получении интерполяционных формул Ньютона, которые используются для тех же целей, что и формула Лагранжа, сделаем дополнительное предположение, что рассматриваются равноотстоящие значения аргумента. Итак, пусть значения функции у = f (x ) заданы для равноотстоящих значений x 0 , x 1 = x 0 + h, …, x n = x 0 + nh. Этим значениям аргументов будут соответствоватьзначенияфункции: у 0 = f(x 0),у 1 = f(x 1), …, y n = f(x n).

Запишем искомый многочлен в виде

F(x ) = a 0 + a 1 (x - x 0) + a 2 (x - x 0)(x - x 1) + a 3 (x - x 0)(x - x 1)(x - x 2) + …

…+ a n (x - x 0)(x - x 1)…(x - x n -1) (3.9)

Для определения коэффициентов a 0 , a 1 ,..., а n положим в (3.9) х = х 0 . Тогда у 0 = F (x 0)=а 0 . Далее, полагая x=x 1 , получим у 1 = F (x 1) = a 0 + а 1 h , откуда

a 1 =

Продолжая вычисления коэффициентов, положим х = х 2 . Тогда

y 2 = y 0 + 2h + a 2 2hh , y 2 – 2Δy 0 = a 2 2h 2 ;

y 2 – 2y 1 + 2y 0 – y 0 = y 2 – 2y 1 + y 0 = a 2 2h 2 .

Исходя из (3.8), получаем y 2 – 2y 1 + y 0 = Δ 2 y 0.

Точно так же получим

Аналогичные дальнейшие вычисления позволяют записать общую формулу для любого коэффициента а k:

Подставим найденные выражения коэффициентов в формулу (3.9), получим

Полученная формула и называется первой интерполяционной формулой Ньютона.

Для практического использования формулу Ньютона (3.10) обычно записывают в преобразованном виде. Для этого введем обозначение

отсюда х = х 0 + ht .

Выразим через t множители, входящие в формулу (3.10):

………………………..

Подставив полученные выражения в формулу (3.10), окончательно получаем

Выражение (3.11) представляет окончательный вид первой интерполяционной формулы Ньютона.

Пример . Приняв шаг h = 0,05,построить на отрезке интерполяционный полином Ньютона для функции y = e x ,заданной табл. 3.3.

Таблица 3.3

Заметим, что в столбцах разностей, следуя обычной практике, мы не отделяем запятой десятичные разряды, которые ясны из столбца значений функций.

Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3.11) полагаем n = 3. Приняв х 0 = 3,50 и у 0 = 33,115, будем иметь:

Первая интерполяционная формула Ньютона неудобна для интерполирования функции в конце таблицы, где число значений разностей мало. В этом случае применяется вторая интерполяционная формула Ньютона, которую мы сейчас и рассмотрим.

Напишем искомый интерполяционный многочлен в виде

Как и ранее, коэффициенты а 0 , а 1 ,… а n определяются из условия F (x i) = y i . Положим в (3.12) х = х n . Тогда a 0 = y n .

Точно так же, полагая x = x n -1 , получим y n -1 = y n +a 1 (x n -1 - x n) ,

а так как x n -1 – x n = - h , то

Числитель последнего выражения можно представить так:

y n – y n -1 – (y n -1 - y n -2 )= Δy n -1 - Δy n -2 = Δ 2 y n -2 .

Продолжая аналогичные вычисления, получим общую формулу для коэффициентов

После подстановки в (3.12) всех значений коэффициентов эта формула примет вид

Это и есть вторая интерполяционная формула Ньютона. Для удобства применения ее, как и первую, преобразуют, введя обозначения

= t или x = x n + th .

Выразим теперь через t множители в формуле (3.13):

……………………………………………..

Произведя такую замену, окончательно получим:

Пример . По табл. 3.5 значений семизначных логарифмов для чисел от 1000 с шагом 10 найти lg 1044.

Таблица 3.5

Примем x n = 1050,y n = 3,0211893;Δ y n-1 = 0,0041560;

Δ 2 y n -2 = - 0,0000401;Δ 3 y n -3 = 0,0000008.Тогда для x = 1044 получаем

Как первая, так и вторая интерполяционные формул Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функций, т. е. для нахождения значений функций для значений аргументов х , лежащих вне пределов таблицы. Еслизначение x < x 0 и значение x близко к x 0 , то выгодно применять первую интерполяционную формулу Ньютона, причем

Еслиже x > x 0 и x близко кх п , то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, причем

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперед и экстраполирования назад, а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот, – используется для интерполирования назад и экстраполирования вперед.

Пример . Имея табл. 3.6 значений и разностей,у= sin х : в пределах отх = 15° дох = 55° с шагом h = 5° , найти sin 14° и sin 56° .

Таблица 3.6

Решение . Для вычисления sin14 0 примем x 0 = 15 0 и x = 14 0 , отсюда t = (14–15)/5 = – 0,2.

Здесь следует выполнить экстраполирование назад, поэтому применим первую интерполяционную формулу Ньютона и подчеркнутые одной чертой конечные разности:

sin14 0 = 0,2588 + (– 0,2)0,0832+ (– 0,0026) +

+ (–0,0006) = 0,242.

Для отыскания sin56 0 примем x n = 55 0 и x = 56 0 , отсюда t = .

Применяя вторую интерполяционную формулу Ньютона (3.14) и, используя дважды подчеркнутые разности, будем иметь:

sin56 0 = 0,8192+ 0,2·0,0532+ (- 0,0057)+ (- 0,0003)= 0,83.

Лекция 4

Конечные разности 1–го порядка

Конечные разности высших порядков

Таблица конечных разностей

Конечные разности и степень многочлена

Первая интерполяционная формула Ньютона

Первая интерполяционная формула Ньютона

10. Первая интерполяционная формула Ньютона

11. Пример использования первой интерполяционной формулы Ньютона

12. Схема алгоритма вычислений по первой интерполяционной формуле Ньютона

13. Вторая интерполяционная формула Ньютона

14. Вторая интерполяционная формула Ньютона

15. Вторая интерполяционная формула Ньютона

16. Пример использования второй интерполяционной формулы Ньютона

17. Схема алгоритма вычислений по второй интерполяционной формуле Ньютона

18. Погрешности интерполяции

19. Погрешности интерполяции

20. Выбор узлов интерполяции по формуле Лагранжа

21. Практическая оценка погрешности интерполяции по формуле Лагранжа

22. Схема алгоритма интерполяции по формуле Лагранжа с заданной точностью

23. Оценка погрешностей интерполяционных формул Ньютона

24. Практическая оценка погрешностей интерполяционных формул Ньютона

25. Интерполяция по формулам Ньютона с заданной точностью

Вторая формула Ньютона обладает аналогичными свойствами относительно левой части таблицы. Для ее построения используют многочлен вида:

P n (x)=a 0 + a 1 (x-x n) + a 2 (x-x n)(x-x n-1) + …+ a n (x-x n)(x-x n-1)…(x-x 1), (6.3.3-8)

где а i , i = 0, 1, 2, …, n – коэффициенты, не зависящие от узлов интерполяции.

Для определения коэффициентов а i будем в (6.3.3-8) поочередно подставлять узлы интерполяции. При х = x n P n (x n) = y n , следовательно, a 0 = y n .

При х = x n -1 имеем P n (x n -1) = y n -1 = a 0 + a 1 (x n -1 -x n) = y n + a 1 (x n -1 -x n), откуда

Продолжая подстановку, получим выражение для всех коэффициентов многочлена (6.3.3-8) и запишем вторую интерполяционную формулу Ньютона:

Введя обозначение:

и, подставив х в (6.3.3-8), получаем формулу Ньютона для интерполяции назад:

Воспользуемся этой формулой для вычисления значения функции, заданной таблицей 6.3.3-1, в точке х = 1.7.

Точка х=1.7 расположена в конце таблицы. В качестве узлов интерполяции выберем: х 3 =1.8, х 2 =1.6 и х 1 =1.4:

Погрешности интерполяционных формул Ньютона определяются соотношением:

· для первой формулы Ньютона:

(6.3.3-11)

· для второй формулы Ньютона:

(6.3.3-12)

где - некоторое промежуточное значение между узлами интерполяции.

На практике, если интерполируемая функция y = f(x) задана таблично , полагая, что D n +1 = const, а h –достаточно мало, используют приближенные равенства:

(6.3.3-13)

Пример 6.3.3-1. Вычислить c использованием 1-й и 2-й формул Ньютона значение функции, заданной таблицей равноотстоящих узлов, в точке х=1.23.

Практическая погрешность оценивается соотношением:

e 1 = |Р 2 (х) - Р 1 (х)|=|0.206958-0.206335|=0.000623.

Решим ту же задачу с помощью 2-й формулы Ньютона. Пусть х n = 1.3; х n -1 = 1.2; х n -2 = 1.1.

Таблица конечных разностей имеет вид:

Тогда:

6.3.4. Сплайн – интерполяция

В последние годы интенсивно развивается новый раздел современной вычислительной математики – теория сплайнов . Сплайны позволяют эффективно решать задачи обработки экспериментальных зависимостей между параметрами, имеющими достаточно сложную структуру.

Рассмотренные выше методы локальной интерполяции, по существу, являются простейшими сплайнами первой степени (для линейной интерполяции) и второй степени (для квадратичной интерполяции).

Наиболее широкое практическое применение, в силу их простоты, нашли кубические сплайны. Основные идеи теории кубических сплайнов сформировались в результате попыток математически описать гибкие рейки из упругого материала (механические сплайны), которыми издавна пользовались чертежники в тех случаях, когда возникала необходимость проведения через заданные точки достаточно гладкой кривой. Известно, что рейка из упругого материала, закрепленная в некоторых точках и находящаяся в положении равновесия, принимает форму, при которой ее энергия является минимальной. Это фундаментальное свойство позволяет эффективно использовать сплайны при решении практических задач обработки экспериментальной информации.

В общем случае для функции y = f(x) требуется найти приближение y = S(x) таким образом, чтобыf(x i) = S(x i) в точках x = x i , a в остальных точках отрезка значения функций f(x) и S(x) были близкими между собой. При малом числе экспериментальных точек для решения задачи интерполяции можно использовать один из методов построения интерполяционных полиномов. Однако при большом числе узлов интерполяционные полиномы становятся практически непригодными. Это связано с тем, что степень интерполяционного полинома лишь на единицу меньше числа экспериментальных значений функций. Можно, конечно, отрезок, на котором определена функция, разбить на участки, содержащие малое число экспериментальных точек, и для каждого из них построить интерполяционные полиномы. Однако в этом случае аппроксимирующая функция будет иметь точки, где производная не является непрерывной, т. е. график функции будет содержать точки “излома”.

Кубические сплайны лишены этого недостатка. Исследования показали, что гибкая тонкая линейка между двумя узлами достаточно хорошо описывается кубическим полиномом, и поскольку она не разрушается, то аппроксимирующая функция должна быть, по меньшей мере, непрерывно дифференцируемой.

Таким образом, сплайн – это функция, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.

Пусть интерполируемая функция f(x)задана своими значениями y i , в узлах х i,
(i = 0, 1,...,n). Обозначим длину частичного отрезка как h i =x i -x i-1 ,
(i = 1, 2,...,n). Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков [х i-1 ;х i ] в виде:

где - четверка неизвестных коэффициентов. Можно доказать, что задача нахождения кубического сплайна имеет единственное решение.

Потребуем совпадения значений S(x)в узлах с табличными значениями функции f(x):

(6.3.4-2)

Число этих уравнений (2n) в два раза меньше числа неизвестных коэффициентов. Для того чтобы получить дополнительные условия, потребуем также непрерывности первой и второй производных сплайна во всех точках, включая узлы. Для этого следует приравнять левые и правые производные S"(x–0), S"(x+0), S"(x–0), S"(x+0) во внутреннем узле x i .

Вычислим выражения для производных S"(x), S"(x)последовательным дифференцированием (6.3.4-1):

S"(x) = b i + 2c i (x–x i-1) + 3d i (x–x i - l) 2 , (6.3.4-4)

S""(x) = 2c i + 6d i (x–x i - l),(6.3.4-5)

найдем правые и левые производные в узле:

S"(x i –0) = b i + 2сh i + 2d i h i ,

S"(x i +0) = b i+1 , где i = 1,2,..., n -1.

Аналогично поступаем для второй производной:

S"(x–0) = 2c i +6d i h i ,

S"(х+0) = 2с i+1 .

Приравняв левые и правые производные, получаем:

b i +1 = b i +2c i h i +2d i h i 2 (6.3.4-6)

с i+1 = с i - + 3d i h i , где i = 0, 1,..., n–1. (6.3.4-7)

Уравнения (6.3.4-6), (6.3.4-7) дают еще 2(n–1) условий. Для получения недостающих уравнений накладывают требования к поведению сплайна на концах отрезка интерполяции. Если потребовать нулевой кривизны сплайна на концах отрезка интерполяции (т. е. равенство нулю второй производной), то получим:

с i =0, c n +3d n h n = 0. (6.3.4-8)

Исключив из уравнений (6.3.4-2) – (6.3.4-3) nнеизвестных a i , получаем систе­му уравнений:

(6.3.4-9)

где i=0, 1,...., n - 1.

Система (6.3.4-9) состоит из 3(n-1)уравнений. Решив систему (6.3.4-9), получаем значения неизвестных b i , c i , d i ,определяющих совокупность всех формул для искомого интерполяционного сплайна:

где i = 0,1,...,n–1.(6.3.4-10)

Программа, реализующая метод сплайн-интерполяции, доста­точно громоздка, поэтому ограничимся обсуждением решения задачи об интерполяции синуса с помощью сплайнов, используя функции пакетов п.п. 6.3.6.