Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Изучение движения тела, брошенного под углом к горизонту Полное время полета под углом к горизонту

Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила -- сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения; проекции ускорения на координатные оси ах = 0, ау = - g.

Рисунок 1. Кинематические характеристики тела, брошенного под углом к горизонту

Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).

Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:

где $v_0$ - начальная скорость, ${\mathbf \alpha }$ - угол бросания.

При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) $x_0=y_0=0$. Тогда получим:

(1)

Проанализируем формулы (1). Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату y равной нулю, т.к. в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полета:

Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.

Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета - это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный $t_0$. Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:

Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.

Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем

Из уравнений (1) можно получить уравнение траектории тела, т.е. уравнение, связывающее координаты х и у тела во время движения. Для этого нужно из первого уравнения (1) выразить время:

и подставить его во второе уравнение. Тогда получим:

Это уравнение является уравнением траектории движения. Видно, что это уравнение параболы, расположенной ветвями вниз, о чем говорит знак «-» перед квадратичным слагаемым. Следует иметь в виду, что угол бросания $\alpha $ и его функции -- здесь просто константы, т.е. постоянные числа.

Тело брошено со скоростью v0 под углом ${\mathbf \alpha }$ к горизонту. Время полета $t = 2 с$. На какую высоту Hmax поднимется тело?

$$t_В = 2 с$$ $$H_max - ?$$

Закон движения тела имеет вид:

$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_{0x}t \\ y=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2} \end{array} \right.$$

Вектор начальной скорости образует с осью ОХ угол ${\mathbf \alpha }$. Следовательно,

\ \ \

С вершины горы бросают под углом = 30${}^\circ$ к горизонту камень с начальной скоростью $v_0 = 6 м/с$. Угол наклонной плоскости = 30${}^\circ$. На каком расстоянии от точки бросания упадет камень?

$$ \alpha =30{}^\circ$$ $$v_0=6\ м/с$$ $$S - ?$$

Поместим начало координат в точку бросания, ОХ -- вдоль наклонной плоскости вниз, OY -- перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Кинематические характеристики движения:

Закон движения:

$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_0t{cos 2\alpha +g\frac{t^2}{2}{sin \alpha \ }\ } \\ y=v_0t{sin 2\alpha \ }-\frac{gt^2}{2}{cos \alpha \ } \end{array} \right.$$ \

Подставив полученное значение $t_В$, найдём $S$:

Инструкция

Пусть тело брошено под углом α к горизонту с начальной скоростью v0. Начальные координаты тела пусть будут нулевыми: x(0)=0, y(0)=0. В проекциях на координатные оси начальная скорость разложится по двум составляющим: v0(x) и v0(y). То же самое скорости вообще. По оси Ox скорость условно считается постоянной, по оси Oy меняется под воздействием . Ускорение свободного падения g можно принять примерно за 10м/с².

Угол α, под которым брошено тело, задан не случайно. Через него можно расписать начальную скорость в координатных осях. Так, v0(x)=v0·cos(α), v0(y)=v0·sin(α). Теперь можно получить функцию координатных составляющих скорости: v(x)=const=v0(x)=v0·cos(α), v(y)=v0(y)-g·t=v0·sin(α)-g·t.

Координаты тела x и y зависят от времени t. Таким образом, можно составить два уравнения зависимости: x=x0+v0(x)·t+a(x)·t²/2, y=y0+v0(y)·t+a(y)·t²/2. Поскольку по x0=0, a(x)=0, то x=v0(x)·t=v0·cos(α)·t. Также известно, что y0=0, a(y)=-g (знак « » появляется оттого, что направление ускорения свободного падения g и положительное направление оси Oy противоположны). Поэтому y=v0·sin(α)·t-g·t²/2.

Время полета можно выразить из формулы скорости, зная, что в максимальной точке тело на мгновение останавливается (v=0), а длительности «подъема» и «спуска» равны. Итак, при подстановке v(y)=0 в уравнение v(y)=v0·sin(α)-g·t получается: 0=v0·sin(α)-g·t(p), где t(p) – пиковое время, «t вершинное». Отсюда t(p)=v0·sin(α)/g. Общее время полета тогда выразится как t=2·v0·sin(α)/g.

Ту же формулу можно получить и другим способом, математическим, из уравнения для координаты y=v0·sin(α)·t-g·t²/2. Это уравнение можно переписать в немного измененном виде: y=-g/2·t²+v0·sin(α)·t. Видно, что это квадратичная зависимость, где y – функция, t – аргумент. Вершиной параболы, описывающей траекторию, является точка t(p)=[-v0·sin(α)]/[-2g/2]. Минусы и двойки сокращаются, поэтому t(p)=v0·sin(α)/g. Если обозначить максимальную высоту за H и вспомнить, что пиковая точка является вершиной параболы, по которой движется тело, то H=y(t(p))=v0²sin²(α)/2g. То есть, чтобы получить высоту, надо «t вершинное» подставить в уравнение для координаты y.

Итак, время полета записывается как t=2·v0·sin(α)/g. Чтобы его изменить, надо соответственно менять начальную скорость и угол наклона. Чем больше скорость – тем дольше летит тело. С углом несколько сложнее, ведь время зависит не от самого угла, а от его синуса. Максимально возможное значение синуса – единица – достигается при угле наклона в 90°. Это означает, что дольше всего тело летит тогда, когда его бросают вертикально вверх.

Дальность полета является конечной координатой x. Если подставить найденное уже время полета в уравнение x=v0·cos(α)·t, то легко найти, что L=2v0²sin(α)cos(α)/g. Здесь можно применить тригонометрическую формулу двойного угла 2sin(α)cos(α)=sin(2α), тогда L=v0²sin(2α)/g. Синус двух альфа равен единице тогда, когда 2α=п/2, α=п/4. Таким образом, дальность полета максимальна в том случае, если тело бросить под углом 45°.

В этой статье рассмотрим анализ ситуации, когда тело бросили под углом к горизонту. Это может быть бросок камня рукой, выстрел снаряда из пушки, запуск стрелы из лука и так далее. Все названные ситуации описываются одинаково с математической точки зрения.

Особенность движения под углом к горизонту

В чем сходство названных выше примеров с точки зрения физики? Оно заключается в характере действующих на тело сил. Во время свободного полета некоторого тела на него действуют всего две силы:

• Сила тяжести.
• Сопротивление воздуха.

Если масса тела достаточно велика, а его форма является заостренной (снаряд, стрела), то сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Таким образом, движение брошенного под углом к горизонту тела - это задача, в которой фигурирует только сила тяжести. Именно она и определяет форму траектории, которая с хорошей точностью описывается параболической функцией.

Уравнения движения по параболической траектории. Скорость

Тело бросили под углом к горизонту. Как можно описать его движение? Поскольку единственная действующая в процессе полета тела сила направлена вниз, то ее горизонтальная составляющая равна нулю. Этот факт означает, что горизонтальное перемещение объекта однозначно определяется начальными условиями (углом броска или выстрела θ и скоростью v). Вертикальное же перемещение тела - это яркий пример равноускоренного движения, где роль ускорения играет постоянная g (9,81 м/с 2).

Учитывая сказанное выше, можно записать две компоненты для скорости летящего тела в момент времени t:

v x = v * cos(θ);

v y = v * sin(θ) - g * t

Как видно, компонента v x от времени не зависит и остается постоянной на протяжении всей траектории полета (следствие отсутствия внешних сил в направлении оси x). Компонента же v y имеет максимум в начальный момент времени. А затем начинает уменьшаться вплоть до того, что обращается в ноль в максимальной точке взлета тела. После этого она изменяет знак и в момент падения оказывается равной модулю начальной компоненты v y , то есть v*sin(θ).

Записанные уравнения позволяют определить скорость тела, брошенного под углом к горизонту в любой момент t. Ее модуль будет равен:

v = √ (v x 2 + v y 2) = √ (v 2 * cos 2 (θ) + v 2 * sin 2 (θ) - 2 * v* sin(θ) * g * t + g 2 * t 2) =

= √ (v 2 - 2 * v * sin(θ) * g * t + g 2 * t 2)

Уравнения движения по параболической траектории. Дальность полета

Тело бросили под углом к горизонту. Какое расстояние оно пролетит? Вопрос дальности полета касается изменения координаты x. Найти эту величину можно, если проинтегрировать обе компоненты скорости по времени. В результате интегрирования получаем формулы:

x = v * cos(θ) * t + x 0 ;

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + y 0

Разница координат x и x 0 - это и есть дальность полета. Если же положить, что x 0 = 0, тогда дальность будет равна x, для нахождения которой нужно знать, сколько времени t тело будет находиться в воздухе.

Второе уравнение позволяет рассчитать это время при условии, если известна величина y 0 (высота h, с которой бросают тело). Когда объект завершит свое движение (упадет на землю), то его координата y обратится в ноль. Рассчитаем время, когда это произойдет. Имеем:

v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = 0

Перед нами полное квадратное равенство. Решаем его через дискриминант:

D = v 2 * sin 2 (θ) - 4 * (-g/2) * h = v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h;

t = (-v * sin(θ) ± √D)/(2 * (-g/2))

Отбрасываем отрицательный корень. Получаем следующее время полета:

t = (v * sin(θ) + √ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g

Подставляем теперь это значение в равенство для дальности полета. Получаем:

x = v * cos(θ) * (v * sin(θ)+√ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g

Если тело брошено с земли, то есть h = 0, тогда эта формула значительно упростится. И примет вид:

x = 2 * v 2 * cos(θ) * sin(θ)/g = v 2 * sin(2 * θ)/g

Последнее выражение было получено с использованием связи между тригонометрическими функциями синуса и косинуса (формулы приведения).

Поскольку синус имеет максимальное значение для прямого угла, тогда максимальная дальность полета достигается, когда тело бросают (выстреливают) с поверхности земли под углом 45°, и эта дальность равна:

Высота тела, брошенного под углом к горизонту

Теперь определим еще один важный параметр - высоту, на которую способен подняться брошенный объект. Очевидно, что для этого достаточно рассмотреть только изменение координаты y.

Итак, тело бросили под углом к горизонту, на какую высоту оно взлетит? Эта высота будет соответствовать равенству нулю компоненты скорости v y . Имеем уравнение:

v y = v * sin(θ) - g * t = 0

Решаем уравнение. Получаем:

Теперь следует подставить это время в выражение для координаты y. Получаем:

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = v 2 * sin 2 (θ)/g - g/2* v 2 * sin 2 (θ)/g 2 + h =

V 2 * sin 2 (θ)/(2 * g) + h

Эта формула свидетельствует о том, что максимальная высота, в отличие от дальности полета, получается, если бросить тело строго вертикально (θ = 90). В этом случае приходим к формуле:

Любопытно отметить, что во всех приведенных в этой статье формулах не фигурирует масса тела. Характеристики параболической траектории от нее не зависят, но только в случае отсутствия сопротивления воздуха.

Когда изучают механическое движение в физике, то после ознакомления с равномерным и равноускоренным перемещением объектов, переходят к рассмотрению движения тела под углом к горизонту. В данной статье изучим подробнее этот вопрос.

Что собой представляет движение тела под углом к горизонту?

Этот тип перемещения объектов возникает, когда человек бросает камень в воздух, пушка совершает выстрел ядром, или вратарь выбивает от ворот футбольный мяч. Все подобные случаи рассматриваются наукой баллистикой.

Отмеченный вид перемещения объектов в воздухе происходит по параболической траектории. В общем случае проведение соответствующих расчетов является делом не простым, поскольку необходимо учитывать сопротивление воздуха, вращение тела во время полета, вращение Земли вокруг оси и некоторые другие факторы.

В данной статье мы не будем учитывать все эти факторы, а рассмотрим вопрос с чисто теоретической точки зрения. Тем не менее, полученные формулы достаточно хорошо описывают траектории тел, перемещающихся на небольшие расстояния.

Получение формул для рассматриваемого вида движения

Выведем тела к горизонту под углом. При этом будем учитывать только одну-единственную силу, действующую на летящий объект - силу тяжести. Поскольку она действует вертикально вниз (параллельно оси y и против нее), то, рассматривая горизонтальную и вертикальную составляющие движения, можно сказать, что первая будет иметь характер равномерного прямолинейного перемещения. А вторая - равнозамедленного (равноускоренного) прямолинейного перемещения с ускорением g. То есть, компоненты скорости через значение v 0 (начальная скорость) и θ (угол направления движения тела) запишутся так:

v x = v 0 *cos(θ)

v y = v 0 *sin(θ)-g*t

Первая формула (для v x) справедлива всегда. Что касается второй, то тут нужно отметить один нюанс: знак минус перед произведением g*t ставится только в том случае, если вертикальная компонента v 0 *sin(θ) направлена вверх. В большинстве случаев так и происходит, однако, если бросить тело с высоты, направив его вниз, тогда в выражении для v y следует поставить знак "+" перед g*t.

Проинтегрировав формулы для компонент скорости по времени, и учитывая начальную высоту h полета тела, получаем уравнения для координат:

x = v 0 *cos(θ)*t

y = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2

Вычисление дальности полета

При рассмотрении в физике движения тела к горизонту под углом, полезным для практического применения, оказывается расчет дальности полета. Определим ее.

Поскольку это перемещение представляет собой равномерное движения без ускорения, то достаточно подставить в него время полета и получить необходимый результат. Дальность полета определяется исключительно перемещением вдоль оси x (параллельно горизонту).

Время нахождения тела в воздухе можно вычислить, приравняв к нулю координату y. Имеем:

0 = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2

Это квадратное уравнение решаем через дискриминант, получаем:

D = b 2 - 4*a*c = v 0 2 *sin 2 (θ) - 4*(-g/2)*h = v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h,

t = (-b±√D)/(2*a) = (-v 0 *sin(θ)±√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/(-2*g/2) =

= (v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.

В последнем выражении один корень со знаком минуса отброшен, в виду его незначительного физического значения. Подставив время полета t в выражение для x, получаем дальность полета l:

l = x = v 0 *cos(θ)*(v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.

Проще всего это выражение проанализировать, если начальная высота равна нулю (h=0), тогда получим простую формулу:

l = v 0 2 *sin(2*θ)/g

Это выражение свидетельствует, что максимальную дальность полета можно получить, если тело бросить под углом 45 o (sin(2*45 o) = м1).

Максимальная высота подъема тела

Помимо дальности полета, также полезно найти высоту над землей, на которую может подняться тело. Поскольку этот тип движения описывается параболой, ветви которой направлены вниз, то максимальная высота подъема является ее экстремумом. Последний рассчитывается путем решения уравнения для производной по t для y:

dy/dt = d(h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2)/dt = v 0 *sin(θ)-gt=0 =>

=> t = v 0 *sin(θ)/g.

Подставляем это время в уравнение для y, получаем:

y = h+v 0 *sin(θ)*v 0 *sin(θ)/g-g*(v 0 *sin(θ)/g) 2 /2 = h + v 0 2 *sin 2 (θ)/(2*g).

Это выражение свидетельствует, что на максимальную высоту тело поднимется, если его бросить вертикально вверх (sin 2 (90 o) = 1).