Аксиомы эрроу формулировка теоремы невозможности. Аксиомы эрроу. Нежелание или неспособность сделать выбор

«Суть этой теоремы состоит в том, что любой коллективный выбор, удовлетворяющий вполне разумным аксиомам, может обеспечить наилучшую альтернативу лишь в том случае, если он содержит черты принудительности, или диктаторства. Теорема невозможности Эрроу очень остро поставила вопрос о природе экономической науки, а вместе с ней и экономической этики. Она имеет ограничительный характер, ибо выявляет границы состоятельности экономики».

Канке В.А., Философия науки: краткий энциклопедический словарь, М., «Омега-Л», 2008 г., с. 309.

Кеннет Эрроу из Стенфордского университета поставил вопросов наиболее общем виде: можно ли создать такую систему голосования, чтобы она была одновременно рациональной (без противоречий), демократической (один человек - один голос) и решающей (позволяла осуществить выбор)?

Вместо попыток изобретения такой системы Эрроу предложил набор требований, аксиом, которым эта система должна удовлетворять. Эти аксиомы были интуитивно понятны, приемлемы с точки зрения здравого смысла и допускали математическое выражение в виде некоторых условий.

На основе этих аксиом Эрроу попытался в общем виде доказать существование системы голосования, удовлетворяющей одновременно трём перечисленным выше принципам: рациональная, демократическая и решающая.

Первая аксиома Эрроу требует, чтобы система голосования была достаточно общей для того, чтобы учитывать все возможные распределения голосов избирателей. Интуитивно это требование вполне очевидно. Заранее нельзя предсказать распределение голосов. Совершенно необходимо, чтобы система была действенной при любых предпочтениях избирателей. Эта аксиома получила название аксиомы универсальности.

Ещё более очевидной с точки зрения здравого смысла является вторая аксиома Эрроу: аксиома единогласия, в соответствии с ней необходимо, чтобы коллективный выбор повторял в точности единогласное мнение всех голосующих. Если, например, каждый из голосующих считает, что кандидат А лучше кандидата В, то и система голосования должна приводить к этому результату.

Третья аксиома Эрроу получила название независимости от несвязанных альтернатив . Пусть избиратель считает, что из пары кандидатов А и В лучшим является А. Это предпочтение не должно зависеть от отношения избирателя к прочим кандидатам. Третья аксиома достаточно привлекательна, но не столь очевидна с точки зрения каждодневного человеческого поведения. Так, в одноой из роабот приводится убедительный пример нарушения этой аксиомы. Посетитель ресторана первоначально сравнивает блюдо А и В и хочет заказать А, потому что приготовление блюда В требует высокой квалификации повара, а, по его мнению, такой повар вряд ли есть в данном ресторане. Вдруг он замечает в меню блюдо С - очень дорогое и также требующее высокого искусства приготовления. Тогда он выбирает блюдо В, считая, что повар умеет хорошо готовить.

Часто третья аксиома Эрроу нарушается судьями в фигурном катании. Давая сравнительные оценки двум сильным фигуристам в одиночном катании, они стараются учесть возможность хорошего выступления третьего сильного кандидата, оставляя ему шансы стать победителем. Отличное выступление в произвольном катании фигуриста С, имевшего ранее не очень высокий результат в обязательной программе, может повлиять на оценки фигуристов А и В. Если А имел отличный результат в обязательной программе, судьи иногда ставят его ниже фигуриста В при примерно равном выступлении, чтобы повысить шансы фигуриста С.

Тем не менее, сама возможность предъявления требования независимости к системе голосования в качестве обязательного не вызывает сомнения.

Четвёртая аксиома Эрроу носит название аксиомы полноты: система голосования должна сравнить любую пару кандидатов, определив, кто из них лучше. При этом имеется возможность объявить двух кандидатов равнопривлекательными. Требование полноты не кажется слишком строгим для системы голосования.

Пятая аксиома Эрроу является уже знакомым условием - транзитивности: если в соответствии с мнением избирателей кандидат В не лучше кандидата А (хуже или эквивалентен), кандидат С не лучше кандидата В, то кандидат С не лучше кандидата А. Считается, что система голосования, не допускающая нарушения транзитивности, ведет себя рациональным образом.

Определив пять аксиом - желательных свойств системы голосования, Эрроу доказал, что системы, удовлетворяющие этим аксиомам, обладают недопустимым с точки зрения демократических свобод недостатком: каждая из них является правилом диктатора - личности, навязывающей всем остальным избирателям свои предпочтения.

Результаты, выявленные Эрроу, получили широкую известность. Они развеяли надежды многих экономистов, социологов, математиков найти совершенную систему голосования. Требование исключения диктатора приводит к невозможности создания системы голосования, удовлетворяющей всем аксиомам Эрроу.

Поэтому результат Эрроу называют «теоремой невозможности».

Многообразие процедур, пригодных для принятия коллективных решений, побуждает задуматься, есть ли среди них такие, которые идеальным образом соответствовали бы достаточно полному набору естественных требований (аксиом). Знакомство с теоремой Мэя и парадоксом Кондорсе заставляет скептически относиться к такой возможности. Генерализованный ответ на обсуждаемый вопрос дает теорема о невозможности , доказанная Кеннетом Эрроу в 1951 г.

Теорема утверждает, что не существует правила коллективного выбора у удовлетворяющего одновременно следующим шести требованиям.

1. Полнота. Правило должно обеспечивать выбор между любыми двумя альтернативами, отдавая предпочтение одной из них либо признавая обе равноценными.
2. Универсальность. Правило обеспечивает результативный выбор при любом сочетании индивидуальных предпочтений.
3. Транзитивность. Для любого набора из трех альтернатив х, у и z, если xRy и yRz, то xRz.
4. Единогласие. Если xRy выполняется для любого i, т.е. все участники коллективного выбора отдают предпочтение первой из двух альтернатив, то xRy, иначе говоря, коллективный выбор совершается в пользу первой альтернативы (это не что иное, как выполнение требования Парето-эффективности).
5. Независимость от посторонних альтернатив. Коллективный выбор между любыми двумя альтернативами х и у зависит от того, как индивиды оценивают эти две альтернативы по отношению друг к другу, но не зависит от отношения индивидов к какой бы то ни было посторонней альтернативе z (например, будет ли признано xRy, может зависеть, в частности, от того, верно ли, что хR iу , но не от того, справедливо ли, что xRz или что xR izR iy).
6. Отсутствие "диктатора ". Среди участников коллективного выбора нет такого индивида, любое предпочтение которого xR iy влекло бы за собой xRy независимо от предпочтений всех других индивидов.

Теорему можно сформулировать и иным образом, введя важное понятие рационального выбора. Выбор является рациональным, если он отвечает требованиям полноты и транзитивности. Рациональность индивидуального выбора – одна из ключевых аксиом микроэкономики.

Коллективный выбор не всегда рационален, как мы убедились, рассматривая парадокс голосования. Теорема Эрроу говорит о том, что не существует правила рационального коллективного выбора, которое было бы универсальным, отвечало бы принципу эффективности по Парето, было бы независимо от посторонних альтернатив и при этом предполагало бы подлинно коллективное решение, не сводящееся к фиксации предпочтений одного индивида.

Приступая к доказательству теоремы, прежде всего введем понятие решающей коалиции голосующих. Решающей коалицией является такая совокупность индивидов, входящих в общее число участников коллективного выбора, что при единогласии внутри этой коалиции позиция ее членов становится результатом коллективного выбора. Иными словами, если для всех членов решающей коалиции xR ty, то xRy. Коалиция может быть решающей только для конкретной пары альтернативных вариантов, тогда она называется решающей коалицией, например, для а против b. В то же время могут существовать коалиции, решающие для любой допустимой пары альтернатив; такие коалиции называют решающими без указания конкретной пары.

Докажем, что, если выполняются шесть перечисленных выше условий, то для произвольной пары альтернатив найдется решающая коалиция, состоящая из одного члена.

Выберем некоторую пару альтернатив х и у . Рассмотрим множество решающих для нее коалиций. Это множество не пусто, поскольку из аксиомы единогласия следует, что по крайней мере вся совокупность голосующих составляет решающую коалицию. Вместе с тем правило, удовлетворяющее шести аксиомам, не может быть правилом единогласного принятия решений, так как последнее не отвечает требованию универсальности. Всего лишь при двух участниках, если и (индексы обозначают номера голосующих), единогласное решение не может быть найдено. Следовательно, если существует правило, отвечающее всем шести требованиям, то найдется решающая коалиция для х против у с числом членов меньшим, чем общее число голосующих.

Выберем наименьшую по числу членов решающую коалицию для х против у и обозначим ее Т. Т включает хотя бы двух индивидов (в противном случае это решающая коалиция для х и у , состоящая только из одного члена). Разделим Т на две подгруппы. Пусть в первую из них (назовем ее D ) входит один голосующий, а во вторую (V) – остальные члены наименьшей решающей коалиции для х против у (их может быть один или больше). Совокупность голосующих, не относящихся к T , обозначим W. Поскольку речь не идет о правиле единогласного принятия решений, W не пусто.

Возьмем любую третью альтернативу z. В силу универсальности найдется такой профиль предпочтений, что:

где – нестрогие предпочтения всех членов подгрупп D, V и W.

Поскольку подгруппы D и V вместе составляют решающую коалицию для х против у, то из (4.1) и (4.2) следует xRy.

В то же время V не является решающей коалицией (иначе она была бы решающей в том числе для х и у). Поскольку х, у и z выбираются произвольно, то V, не будучи решающей коалицией, не окажется решающей и для всех возможных z против у. Следовательно, выбор V между z и у блокируется выбором D и W. Значит, из (4.1) и (4.3) вытекает, что невозможно zRy. Таким образом, получаем yRz.

В силу транзитивности: xRz. Однако согласно (4.2) и (4.3) из всех участников голосования только D может строго предпочитать альтернативу х альтернативе z. Получается, что выбор D, а это один человек, определяет общее решение, несмотря на противостояние всех остальных голосующих. Значит, по крайней мере в отношении альтернатив х и z (а они выбраны произвольно) существует "диктатор".

Докажем теперь, что коалиция D, состоящая из одного члена, является решающей для любой пары альтернатив а и b, если эта коалиция – решающая для некоторой пары x и z.

Теперь W будет обозначать совокупность всех участников коллективного выбора, кроме единственного голосующего D, который выступает в роли решающей коалиции для х против z.

Возьмем любую альтернативу а и рассмотрим ситуацию, когда:

Такие предпочтения найдутся в силу полноты и универсальности.

Поскольку D – решающая коалиция для х против z, то xRz. В силу аксиомы единогласия zRa. Поскольку предпочтения транзитивны, xRa.

Из аксиомы независимости от посторонних альтернатив следует, что, если исключить из (4.4) и (4.5) предпочтения, затрагивающие z, последний вывод не изменится. Таким образом, при и всегда имеет место xRa. Но это означает, что D – решающая коалиция для х против любого а.

Теперь возьмем произвольную альтернативу Ь. Рассмотрим ситуацию, когда:

По аналогии с предыдущим рассуждением, bRa, и, следовательно, D – решающая коалиция для b против а. Между тем в роли b и а могут выступать любые альтернативы. Итак, при рассмотрении всякой пары альтернатив исход коллективного выбора совпадает с выбором, который делает коалиция D, состоящая из одного члена. Теорема доказана.

Теорема о невозможности дает на первый взгляд неожиданный ответ на вопрос о перспективах демократического решения проблем, возникающих в обществе. В действительности этот ответ, с одной стороны, достаточно тесно связан с тем, что обсуждалось нами ранее, а с другой – вовсе не означает бесперспективности всякого демократического устройства политической жизни. Принципиальное значение теоремы Эрроу состоит как раз в том, что она обрисовывает ключевые предпосылки осуществимости (или неосуществимости) рационального демократического выбора.

Обратим внимание, что в числе аксиом, сформулированных в данном параграфе, находятся аксиомы полноты, единогласия и универсальности. Это значит, что условия теоремы допускают выбор между всевозможными Парето-эффективными состояниями при самых разных профилях предпочтений. Однако мы знаем, что такого рода выбор предполагает улучшение положения одних индивидов за счет других. Он влечет за собой непримиримые конфликты, и, как мы видели применительно к правилу простого большинства, провоцирует формирование неустойчивых коалиций. Теорема Эрроу говорит, в частности, о том, что в подобных ситуациях полностью гарантировать устойчивость (транзитивность) выбора удается лишь ценой отказа от его коллективного характера, иначе говоря, за счет появления "диктатора".

На деле ослабить значимость проблемы, о которой идет речь, помогают конституционные ограничения вариантов перераспределения. Это очевидным образом сокращает набор альтернатив, из которых может делаться коллективный выбор, т.е. означает отказ от требования полноты.

Успеху коллективного выбора способствует также формирование сообществ на базе предпочтений, разделяемых всеми членами. Таковы, например, клубы, политические партии и т.д. Применительно к ним незначима аксиома универсальности. Принятие устойчивых коллективных решений в сообществах, члены которых разделяют общие ценности, гораздо более достижимо, чем в произвольных группах индивидов.

Аксиома независимости от посторонних альтернатив тесно связана с отказом от учета интенсивности индивидуальных предпочтений. Уместность такого отказа может показаться весьма сомнительной, и, например, правило Борда отражает интенсивность, а применение этого правила не ведет к циклическому голосованию. Проблема, однако, в том, что одновременный учет интенсивности предпочтений многих индивидов предполагает сравнение и соизмерение присущих каждому из них "шкал" полезности. То же правило Борда, по существу, есть способ суммирования интенсивностей индивидуальных предпочтений.

Между тем межличностная сопоставимость шкал полезности представляет собой весьма сильное предположение. Во всяком случае, сопоставление немыслимо без некоторых допущений об относительной значимости благосостояния разных индивидов для общества. Эти допущения, в принципе, могут основываться на консенсусе, предпочтениях большинства и т.д. Однако в таком случае они сами есть продукты коллективного выбора, а мы обсуждаем здесь его исходные условия. Вместе с тем на практике демократии не обходятся без неких явно или неявно фиксируемых представлений о значимости позиций отдельных индивидов. Например, влияние интенсивности предпочтений по отношению к кандидатам на выборные посты неодинаково сказывается при наличии или отсутствии первичных внутрипартийных выборов (того, что в США называется праймериз). В конечном счете теорема Эрроу позволяет понять, почему при наличии разнонаправленных интересов никакой вариант демократического устройства не гарантирует достижения идеала в сфере общественного выбора. Однако отсутствие демократии означало бы отсутствие коллективного выбора, как такового. Вместе с тем, при полном совпадении интересов граждан государство с его принуждающей силой не требовалось бы. В последующих параграфах этой главы нам предстоит рассмотреть, как реальные интересы действующих индивидов детерминируют политические процессы в условиях демократии.

Эрроу К. Д. Коллективный выбор и индивидуальные ценности. M.: ИД ГУ ВШЭ, 2004.

Теорема Эрроу также известна как «Парадокс Эрроу» (англ. Arrow"s paradox) -- теорема о невозможности «коллективного выбора». Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат.

Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.

В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.

Рассмотрим различные формулировки теории:

Формулировка 1951 года

Пусть есть N?2 избирателей, голосующих за n?3 кандидатов. У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив. Система выборов -- функция, превращающая набор из N таких списков (профиль голосования) в общий упорядоченный список. Система выборов может обладать такими свойствами:

Монотонность - если во всех N списках некоторая альтернатива x останется на месте или поднимется выше, а порядок остальных не изменится, в общем списке x должен остаться на месте или подняться.

Отсутствие диктатора - нет избирателя, предпочтение которого определяло бы результат выборов независимо от предпочтений других избирателей.

Независимость от посторонних альтернатив - если профиль голосования изменится так, что альтернативы x и y во всех N списках останутся в том же порядке, то не изменится их порядок и в окончательном результате.

Формулировка 1963 года

В формулировке 1963 года условия Эрроу таковы: универсальность, отсутствие диктатора, независимость от посторонних альтернатив, принцип единогласия - если у каждого избирателя альтернатива x в списке стоит выше y, это же должно быть и в окончательном результате.

Теорема имеет доказательство. Введем следующие обозначения:

I - предпочтения i-го агента; [?"] - профиль предпочтений (кортеж, элементами которого являются предпочтения всех агентов);

W: Ln > L - функция общественного благосостояния; ?W - коллективные предпочтения.

Обозначим O - множество исходов, которые каждый агент ранжирует в соответствии со своими предпочтениями.

Дадим формальные определения:

Парето-эффективность - W парето-эффективна, если для любых исходов o1, o2 ? O, ?i (o1 ?i o2) ? (o1 ?W o2)

Независимость от посторонних альтернатив - W независима от посторонних альтернатив, если для любых исходов o1, o2 ? O и для любых двух профилей предпочтений [?"] и [?"] ? Ln, ?i (o1 ?i" o2 ? o1 ?i" o2) ? (o1 ?W([?"]) o2 ? o1 ?W([?"]) o2)

Отсутствие диктатора - Считаем, что для W отсутствует диктатор, если не существует такого i, что? o1, o2 ? O (o1 ?i o2 ? o1 ?W o2)

Теорема Эрроу. Если |O| ? 3, то любая Парето эффективная, независящая от посторонних альтернатив функция общественного благосостояния W имеет диктатора. Доказательство проведем в 4 этапа.

Этап 1. Утверждение. Если каждый агент помещает исход b в самый верх или самый низ своего списка предпочтений, то и в?W исход b тоже будет либо вверху, либо внизу списка.

Возьмем произвольный профиль [?] такой, что в нем для всех агентов i исход b расположен либо вверху, либо внизу списка предпочтений?i. Теперь допустим, что наше утверждение неверно, т.е. существуют такие a,c ? O, что a ?W b и b ?W c. Изменим тогда профиль [?] так, чтобы для всех агентов выполнялось c ?i a, не изменяя при этом ранжирования остальных исходов. Обозначим полученный профиль [?"]. Так как после такой модификации исход b для каждого агента все равно останется либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции в списке его предпочтений, то из независимости W от посторонних альтернатив можно заключить, что и в новом профиле a ?W b и b ?W c. Следовательно, в силу транзитивности?W получаем a ?W c. Но мы предположили, что для всех агентов c ?i a, тогда в силу парето эффективности должно быть c ?W a. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Этап 2. Утверждение. Существует агент, который является центральным в том смысле, что, изменив свой голос, он может переместить исход b из самой нижней позиции в списке?W в самую верхнюю позицию в этом списке. Рассмотрим любой профиль предпочтений, в котором все агенты расположили исход b в самом низу своего списка предпочтений?i. Ясно, что и в?W исход b находится на самой нижней позиции. Пусть все агенты начали по очереди переставлять исход b с самой нижней на самую верхнюю позицию в своих списках предпочтений, не меняя при этом ранжирования остальных исходов. Пусть n (диктатор над всеми парами , не включающими в себя b) - агент, который переставив таким образом b, изменил?W. Обозначим [?1] - профиль предпочтений как раз до того, как n* переместил b, а [?2] - профиль предпочтений сразу же после того, как n* переместил b. Таким образом, в [?2] исход b изменил свою позицию в?W, при этом для всех агентов b находится либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции?i. Следовательно, в силу утверждения, доказанного на Этапе 1, в?W исход b занимает самую верхнюю позицию.

Этап 3. Утверждение. Выберем из пары любой элемент. Без потери общности, выберем a. Далее из профиля [?2] построим [?3] следующим образом: в?n* переместим исход a на первую позицию, оставив остальное ранжирование неизменным; произвольным образом для всех остальных агентов поменяем местами друг с другом a и c. Тогда, как и в [?1] получим, что a ?W b (в силу независимости от посторонних альтернатив) и, как и в [?2] получим, что b ?W c. Тогда a ?W c. Теперь построим профиль предпочтений [?4] следующим образом: для всех агентов поместим исход b на произвольную позицию в списке предпочтений?i, для агента n* поместим исход a в произвольную позицию до исхода с. Ясно, что в силу независимости от посторонних альтернатив a ?W c. Мы получили, что все агенты, кроме n* имеют совершенно произвольные профили предпочтений, а результат a ?W c получился исходя только лишь из предположения, что a ?n* c. n* - диктатор над всеми парами .

Этап 4. Утверждение. Рассмотрим какой-нибудь исход с. В силу Этапа 2 существует некоторый центральный агент n** для этого исхода, он же является диктатором для всех пар , где, в частности, A = a, B = b. Но n* и сам может менять ранжирование в?W (это рассматривалось на Этапе 2). Следовательно, можно заключить, что n** совпадает с n*. Доказательство завершено.

Аксиомы Эрроу В 1951 г. Кеннет Эрроу из Стенфордского университета задался вопросом о возможности создания системы голосования, которая одновременно удовлетворяла бы трем принципам: рациональности (без противоречий, отсутствия нетранзитивности), демократичности (один человек - один голос) и разрешимости (позволяла осуществлять выбор). Такую систему он не предложил, но Эрроу разработал набор требований, аксиом, которым она должна удовлетворять. На основе приведенных аксиом Эрроу попытался в общем виде доказать существование системы голосования, удовлетворяющей одновременно трем перечисленным выше принципам. Рассмотрим эти аксиомы . Аксиома 1 - аксиома универсальности- требует, чтобы система голосования была действенной при любом возможном распределении голосов, при любых предпочтениях избирателей. Аксиома 2 - аксиома единогласия, в соответствии с которой единогласное мнение всех голосующих за выбор определенного кандидата должно привести к коллективному выбору этого же кандидата. Аксиома 3 - аксиома независимости от несвязанных альтернатив - говорит о том, что в групповом упорядочении порядок определенных кандидатов не должен измениться, при изменении отношений избирателей к прочим кандидатам. Аксиома 4 - аксиома полноты, согласно которой система голосования должна сравнивать любую пару кандидатов. Аксиома 5 - условие транзитивности предполагает, что система голосования не должна нарушать транзитивность отношений избирателей, в ней не должно быть противоречий. Определив пять аксиом желаемой системы голосования, Эрроу в то же время показал, что системы, удовлетворяющие этим аксиомам, обладают с точки зрения демократических свобод недопустимым недостатком: для выполнения аксиоматических требований они предполагают участие личности (диктатора), навязывающей всем остальным избирателям свои предпочтения. Требование же исключения диктатора приводит к невозможности создания системы голосования, удовлетворяющей всем аксиомам Эрроу. Поэтому результат Эрроу называют "теоремой невозможности".

32 Принятие решений в условиях определенности

В условиях определенности лицо, принимающее решение, знает все о возможных состояниях сущности явлений, влияющих на решение, и знает, какое решение будет принято. Лицо, принимающее решение, просто выбирает стратегию, направление действий или проект, которые дадут максимальную отдачу.

В общем случае выработка решений в условиях определенности направлена на поиск максимальной отдачи либо в виде максимизации выгоды (дохода, прибыли иди полезности), либо минимизации затрат. Такой поиск называется оптимизационным анализом. Три метода оптимизации, используются лицом, принимающим решение: предельный анализ, линейное программирование и приростной анализ прибыли.

Определенность понимается как такое состояние знания, когда лицо, принимающее решение, заранее знает конкретный исход для каждой альтернативы. Иначе говоря, лицо, принимающее решение, обладает исчерпывающим знанием состояния среды и результатов каждого возможного решения.

Определенность имеет место в большинстве арифметических и алгебраических задач, а также во многих моделях линейного и нелинейного программирования. Такие модели используются для поиска варианта распределения ресурсов, дающего, наибольшую отдачу по определенному показателю (такому, как прибыль или стоимость), или наименьшему значению некоторого другого критерии (такого, как затраты) в условиях заданных ограничений.

В действительности только, немногое может оставаться определенным на достаточно большом временном интервале. Поэтому, стратегические решения принимаются в условиях, весьма далеких от полного знания. Соответственно, они принимаются в условиях либо риска, либо неопределенности.

Определенность

Решение принимается в условиях определенности, когда руководитель может с точностью определить результат каждого альтернативного решения, возможного в данной ситуации. Сравнительно мало организационных или персональных решений принимается в условиях определенности. Однако они все-таки имеют место. Кроме того, элементы сложных крупных решений можно рассматривать как определенные. Уровень определенности при принятии решений зависит от внешней среды. Он увеличивается при наличии твердой правовой базы, ограничивающей количество альтернатив и снижающей уровень риска.

Парадокс теории общественного выбора впервые описан маркизом Кондорсе в 1785 году, которая в 50-х годах прошлого столетия была удачно обобщена американским ученым экономистом К. Arrow. Теорема Эрроу отвечает на очень простой вопрос в теории коллективного принятия решений. Скажем, есть несколько вариантов для выбора в вопросах политики, публичных проектов или распределения доходов и есть люди, чьи предпочтения определяют этот выбор.

Вопрос состоит в том, какие существуют процедуры для качественного определения выбора. И как узнать о предпочтениях, о коллективном или социальном упорядочении альтернатив, от лучших к худшим. Ответ Arrow на этот вопрос многих удивил.

В теореме Эрроу говорится, что таких процедур вообще нет - в любом случае они не отвечают определенным и вполне разумным предпочтениям людей. Техническая структура, в которой Эрроу дал ясный смысл проблеме социального заказа, и его строгий ответ в настоящее время широко используются для изучения проблем в социальной экономике. Сама теорема легла в основу современной теории общественного выбора.

Теорема Эрроу показывает, что если у избирателей есть хотя бы три альтернативы, то не существует избирательной системы, которая могла бы трансформировать выбор отдельных людей в общественное мнение.

Шокирующее заявление исходило от экономиста и нобелевского лауреата Кеннета Джозефа Эрроу, который продемонстрировал этот парадокс в докторской диссертации и популяризировал его в книге «Социальный выбор и индивидуальные ценности», изданной в 1951 году. Оригинальная статья имеет название «Трудности в концепции социального обеспечения».

В теореме Эрроу говорится, что невозможно разработать избирательную систему с порядком, которая всегда соответствовала бы справедливым критериям:

Когда избиратель выбирает альтернативу X против Y, то сообщество избирателей предпочтет X, а не Y. Если выборы каждого из избирателей X и Y останутся без изменений, тогда и выбор общества X и Y будет таким же, даже если избиратели выберут другие пары X и Z, Y и Z или Z и W.
Нет «диктатора выбора», потому что один избиратель не может влиять на выбор группы.
Существующие избирательные системы не охватывают нужные требования, поскольку они предоставляют больше информации, чем порядковый ранг.

Системы государственного социального управления

Хотя американский экономист Кеннет Эрроу получил Нобелевскую премию по экономике, работа принесла больше пользы для развития социальных наук, поскольку теорема «О невозможности» Эрроу положила начало совершенно новому направлению экономики - социальному выбору. Эта отрасль пытается математически проанализировать принятие совместных решений, в частности в области систем государственного социального управления.

Выбор - это демократия в действии. Люди идут на выборы и выражают свои предпочтения, и в итоге, предпочтения многих людей должны объединиться, чтобы принять совместное решение. Вот почему выбор метода голосования очень важен. Но есть ли идеальное голосование в действительности? Согласно результатам теории Эрроу, полученным в 1950 году, ответ отрицательный. Если под «идеальным» подразумевается преференциальный метод голосования, который соответствует критериям, определенных разумных методов голосования.

Предпочтительным методом голосования является ранжирование, когда избиратели оценивают всех кандидатов в соответствии с предпочтениями, и на основе этих оценок получается результат: еще один список всех кандидатов, которые должны быть представлены общей волей людей. По теореме «О невозможности» Эрроу можно указать разумный способ голосования:

Без диктаторов (ND) - результат не всегда должен совпадать с оценкой одного конкретного человека.
Эффективность Парето (РЕ)- если каждый избиратель предпочитает кандидата А кандидату В, то в результате следует указать кандидата А над кандидатом Б.
Независимость несовместимых альтернатив (IIA)- относительная оценка результатов кандидатов A, B и не должна изменяться, если избиратели изменят оценку других кандидатов, но не изменят свои относительные оценки A и B.

По условиям теоремы Эрроу выходит, что в случае выборов с тремя и более критериями, не существует функций социального выбора, которые бы одновременно подходили бы для ND, PE и IIA.

Рациональная система выбора

Необходимость агрегирования предпочтений проявляется во многих областях жизнедеятельности людей:

Экономика благосостояния использует микроэкономические методы для оценки благосостояния на совокупном общеэкономическом уровне. Типичная методология начинается с выведения или предположения функции социального обеспечения, которая затем может быть использована для ранжирования экономически обоснованных распределений ресурсов с точки зрения социального обеспечения. В этом случае, государства пытаются найти экономически приемлемый и стабильный результат.
В теории принятия решений, когда человек должен сделать рациональный выбор по нескольким критериям.
В избирательных системах, которые являются механизмами, чтобы найти единое решение из предпочтений многих избирателей.

По условиям теоремы Эрроу различают порядок предпочтений для данного набора параметров (результатов). Каждая единица в обществе или каждый присваивает определенный порядок предпочтений в отношении набора результатов. Общество ищет систему голосования на основе рейтинга, называемую функцией социального обеспечения.

Это правило агрегирования предпочтений преобразует набор профиля предпочтений в один глобальный публичный порядок. Утверждение Эрроу гласит, что, если в руководящем органе есть, по крайней мере, два избирателя и три критерия выбора, невозможно создать функцию социального обеспечения, которая будет удовлетворять всем этим условиям сразу.

Для каждого набора индивидуальных предпочтений избирателей функция социального обеспечения должна выполнять уникальный и всеобъемлющий рейтинг общественного отбора:

Это должно быть сделано таким образом, чтобы результатом была полная оценка предпочтений аудитории.
Должны детерминистически давать одинаковую оценку, когда предпочтения избирателей кажутся одинаковыми.

Независимость от нерелевантных альтернатив (IIA)

Выбор между X и Y связан исключительно с предпочтениями индивида между X и Y - это независимость в парах (попарная независимость), согласно теореме Эрроу «О невозможности демократии». При этом изменение оценки человека нерелевантных альтернатив, расположенных вне таких групп, не оказывает влияния на социальную оценку данного подмножества. Например, представление третьего кандидата на выборах с двумя кандидатами не оказывает влияние на результат выборов, если только третий кандидат не победит.

Обществу присуще однообразие и положительное сочетание социальных и индивидуальных ценностей. Если человек меняет свой порядок предпочтений, продвигая определенный вариант, то порядок предпочтений общества должен соответствовать тому же варианту без изменения. Человек не должен быть в состоянии навредить опциону, оценивая его выше.

В теореме «О невозможности» эффективность и справедливость в обществе обеспечиваются через суверенитет гражданина. Каждый возможный общественный порядок предпочтений должен быть достижим с помощью некоторого набора индивидуальных порядков предпочтений. Это означает, что функция социального обеспечения сюръективна - у нее неограниченное целевое пространство. Более поздняя (1963 год) версия теоремы Эрроу заменила критерии монотонности и отсутствия наложения.

Парето. Эффективность или единодушие?

Если каждый человек предпочитает определенный вариант другому, то порядок социальных предпочтений также должен это делать. Необходимо, чтобы функция социального обеспечения была минимально чувствительной к профилю предпочтений. Эта поздняя версия является более общей и имеет несколько слабые условия. Аксиомы однообразия, отсутствие перекрытия вместе с IIA , обозначают эффективность Парето. В то же время она не предполагает наложения IIA и не подразумевает монотонность.

IIA имеет три цели:

Стандартная. Нерелевантные альтернативы не должны иметь значения.
Практическая. Использование минимальной информации.
Стратегическая. Обеспечение правильных стимулов для истинного определения индивидуальных предпочтений. Хотя стратегическая цель концептуально отличается от IIA, они тесно связаны.

Эффективность по Парето, названная в честь итальянского экономиста и политолога (1848-1923 гг.), используется в неоклассической экономике наряду с теоретической концепцией совершенной конкуренции в качестве ориентира для оценки эффективности реальных рынков. Нужно отметить, что ни один из результатов не достигается за пределами экономической теории. Гипотетически, если бы существовала совершенная конкуренция и ресурсы использовались с максимальной эффективностью, то у каждого был бы самый высокий уровень жизни, или эффективность по Парето.

На практике невозможно предпринять какие-либо социальные действия, такие как изменение экономической политики, без ухудшения положения хотя бы одного человека, поэтому концепция улучшения по Парето нашла более широкое применение в экономике. Улучшение по Парето происходит, когда изменение в распределении никому не вредит и помогает, по крайней мере, одному человеку, учитывая первоначальное распределение товаров для группы лиц. Теория предполагает, что улучшения по Парето будут продолжать увеличивать ценность для экономики до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие по Парето, когда больше никаких улучшений не может быть сделано.

Формальное изложение теоремы

Пусть A будет набором результатов, N количеством избирателей или критериев принятия решения. Обозначают множество всех полных линейных упорядочений из А на L (A). Строгая функция социального обеспечения (правило агрегации предпочтений) является функцией которая, агрегирует предпочтения избирателей в разовом порядке предпочтения на A.

N - кортеж (R 1, ..., R N) ∈ L (A) N предпочтений избирателей называется профилем предпочтений. В своей самой сильной и простой форме теорема Эрроу о невозможности гласит, что всякий раз, когда множество возможных альтернатив A имеет более 2 элементов, следующие три условия становятся несовместимыми:

Единодушие, или слабая эффективность по Парето. Если альтернатива A ранжируется строго выше B для всех порядков R 1,…, R N, то A ранжируется строго выше B на F (R 1, R 2,…, R N). При этом единодушие подразумевает отсутствие навязывания.
Non-диктатура. Нет индивидуального "Я", чьи строгие предпочтения всегда превалируют. То есть, нет Я ∈ {1, ..., N } , что для всех (R 1 , ..., R N) ∈ L (А) Н, занимает строго выше, чем B от R. "Я" занимает строго выше, чем B по F (R 1 , R 2 ,…, R N) , для всех A и B.
Независимость от неактуальных альтернатив. Для двух профилей предпочтений (R 1,…, R N) и (S 1,…, S N), таких, что для всех индивидуумов I альтернативы A и B имеют тот же порядок в R i, что и в S i, альтернативы A и B, имеют тот же порядок в F (R 1, R 2,…, R N), что и в F (S 1, S2,…, S N).

Хотя теорема «О невозможности» доказана математически, ее часто выражают нематематическим способом с помощью такого утверждения, что ни один из методов голосования не является справедливым, каждый ранжированный метод голосования имеет недостатки, или единственный метод голосования, который не является ошибочным, - это диктатура. Эти утверждения являются упрощением результата Эрроу, который не всегда считается верным. Теорема Эрроу утверждает, что детерминированный механизм преимущественного голосования, то есть тот, в котором порядок предпочтений является единственной информацией при голосовании, а любой возможный набор голосов дает уникальный результат, не может соответствовать одновременно всем условиям, указанным выше.

Различные теоретики предлагали ослабить критерий IIA как выход из парадокса. Сторонники рейтинговых методов голосования утверждают, что IIA является неоправданно сильным критерием, который нарушен в большинстве полезных избирательных систем. Сторонники этой позиции указывают на то, что несоблюдение стандартного критерия IIA тривиально подразумевается возможностью циклических предпочтений. Если избиратели голосуют следующим образом:

1 голос за A> B> C;
1 голос за B> C> A;
1 голос за C> A> B.

Тогда предпочтение группы в парном большинстве состоит в том, что A выигрывает у B, B выигрывает у C, а C выигрывает у A и это дает предпочтение «ножницы-рок-ножницы» для любого парного сравнения.

В этом случае любое правило агрегации, которые удовлетворяет основному мажоритарному требованию о том, что кандидат, получивший большинство голосов, должно победить на выборах, не будет соответствовать критерию IIA, если социальные предпочтения должны быть транзитивными или ациклическими. Чтобы увидеть это, предполагают, что такое правило удовлетворяет IIA. Поскольку предпочтения большинства соблюдаются, общество отдает предпочтение A - B (два голоса за A> B и один за B> A), B - C и C - A. Таким образом, создается цикл, который противоречит предположению о том, что социальные предпочтения транзитивны.

Итак, теорема Эрроу действительно показывает, что любая избирательная система с большинством побед - нетривиальная игра, и что теория игр должна использоваться для прогнозирования результатов большинства механизмов голосования. Это может рассматриваться как обескураживающий результат, потому что игра не должна иметь эффективных равновесий, например, голосование может привести к альтернативе, которую никто в действительности не хотел, но за нее проголосовали все.

Социальный выбор вместо предпочтений

Рациональный коллективный выбор механизма голосования по теореме Эрроу не является целью принятия социальных решений. Часто достаточно найти какую-то альтернативу. Подход, сфокусированный на выборе альтернативы, исследует либо функции социального выбора, которые отображают каждый профиль предпочтений, либо правила социального выбора - функции, которые отображают каждый профиль предпочтений в подмножество альтернатив.

Что касается функций социального выбора, то хорошо известна теорема Гиббарда-Саттертвейта, которая гласит, что если функция социального выбора, диапазон которой содержит хотя бы три альтернативы, является стратегически устойчивой, то она является диктаторской. Рассматривая правила социального выбора, считают, что за ними стоят социальные предпочтения.

То есть рассматривают правило, как выбор максимальных элементов - лучших альтернатив какого-либо социального предпочтения. Множество максимальных элементов социального предпочтения называется ядром. Условия существования альтернативы в ядре исследовались в двух подходах. Первый подход предполагает, что предпочтения являются, по меньшей мере, ациклическими, что необходимо и достаточно для того, чтобы предпочтения имели максимальный элемент в любом конечном подмножестве.

По этой причине это тесно связано с расслабляющей транзитивностью. Второй подход отбрасывает предположение об ациклических предпочтениях. Кумабе и Михара приняли этот подход. Они сделали более последовательное предположение, что индивидуальные предпочтения имеют максимальное значение.

Существует несколько показателей неприятия риска, выраженных функцией полезности в теореме Эрроу Пратта. Абсолютное неприятие риска - чем выше кривизна u (c), тем выше неприятие риска. Однако, поскольку ожидаемые функции полезности не определены однозначно, необходима мера, остается постоянной по отношению к этим преобразованиям. Одна из таких мер является Эрроу-Pratt мера абсолютного неприятия риска (ARA), после того как экономисты Кеннет Эрроу и Джон У. Pratt определили коэффициент абсолютного неприятия риска, как

A (c) = - {u "" (c)}/ {u "(c)},

где: u "(c) и u "" (c) обозначают первую и вторую производные по отношению к "с" из "u (c)".

Экспериментальные и эмпирические данные в основном соответствуют снижению абсолютного неприятия риска. Мера относительного неприятия риска Эрроу Пратта (АСР) или коэффициента относительного неприятия риска определяется:

R (c) = cA (c) = {-cu "" (c)} /{u "(c) R (c).

Как и в случае абсолютного неприятия риска, используются соответствующие термины постоянное относительное неприятие риска (CRRA) и уменьшение / увеличение относительного неприятия риска (DRRA / IRRA). Преимущество этой величины состоит в том, что она все еще является действительной мерой неприятия риска, даже если функция полезности изменяется от склонности к риску, то есть полезность не является строго выпуклой / вогнутой по всем «c». Постоянный RRA подразумевает уменьшение ARA теории Эрроу Пратта, но обратное не всегда верно. В качестве конкретного примера неприятия постоянного относительного риска, функция полезности: u (c) = log (c), подразумевает RRA = 1.

Левый график: функция полезности, предотвращающая риск, является вогнутой снизу, а функция полезности, склонная к риску, является выпуклой. Средний график - в пространстве ожидаемых значений стандартного отклонения, кривые безразличия к риску имеют наклон вверх. Правый график - с фиксированными вероятностями двух альтернативных состояний 1 и 2 кривые безразличия, не склонные к риску, по парам результатов, зависящих от состояния, являются выпуклыми.

Первоначально Эрроу отверг кардинальную полезность, как важный инструмент выражения социального благополучия, поэтому он сконцентрировал свои требования на ранжировании предпочтений, но позже пришел к выводу, что кардинальная рейтинговая система с тремя или четырьмя классами является вероятно, лучшей. Общественный выбор по теореме «О невозможности» предполагает, что индивидуальные и социальные предпочтения являются упорядоченными, то есть удовлетворенность полнотой и транзитивностью в различных альтернативах. Это означает, что, если предпочтения представлены функцией полезности, ее значение полезно в том смысле, что оно имеет смысл, поскольку более высокое значение означает лучшую альтернативу.

Практические приложения теоремы используется для оценки широких категорий систем голосования. Главный аргумент Эрроу утверждает, что системы голосования по порядку должны всегда нарушать, по крайней мере, один из критериев справедливости, которые он изложил. Практическим следствием этого является то, что системы голосования, которые не приведены в порядок, должны быть изучены. Например, рейтинговые системы голосования, где избиратели дают каждому кандидату баллы могут соответствовать всем критериям Эрроу.

На самом деле механизм голосования, рациональный коллективный выбор по Теореме Эрроу и последующий диалог, невероятно вводили в заблуждение в области избирательной. Часто студенты и неспециалисты считают, что ни одна система голосования не могут соответствовать критериям справедливости Эрроу, тогда как, на самом деле, рейтинговые системы способны соответствовать и удовлетворяют всем критериям Эрроу.