Рисунок на координатной плоскости матрешка. Старт в науке. Полярная система координат

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

Прямоугольная система координат на плоскости.

Координаты точки на плоскости.

Московская область, Луховицкий район,

МБОУ Павловская ООШ

2013 год

Введение.

«Все в этой жизни можно найти:

Дом чей-то, офис, цветы и грибы,

Место в театре, в классе свой стол,

Если узнать координатный закон».

Материал изучается в курсе математики 6 класса. Материал интересен для обучающихся и позволяет использовать метод проектной деятельности. Обучающиеся могут проявить самостоятельность в приобретении знаний по данной теме, показать свою творческую активность, проявить фантазию в подборе дополнительного материала с использованием компьютера.

Данная тема очень актуальна, так как она широко применима не только

в математике при изучении темы «Функции и их графики», но и

в географии : понятия географические координаты, полярная система координат, используемая при создании компаса, определение места нахождения на карте, на глобусе;

в астрономии : звездные координаты;

в информатике : метод кодирования это один из удобных способов представления числовой информации с помощью графиков, которые строятся в различных системах координат;

в химии: построение таблицы Менделеева, где изменение показателей происходит в горизонтальной и вертикальной плоскости, взаимное расположение молекул;

в биологии: построение схем молекул ДНК, построение диаграмм и графиков, прослеживающих эволюцию развития.

В результате изучения темы необходимо:

ознакомить с прямоугольной системой координат на плоскости;

научить свободно ориентироваться на координатной плоскости, строить точки по заданным их координатам, определять координаты точки, отмеченной на координатной плоскости;

хорошо воспринимать на слух координаты.

Обучающимся будет предложено изучить историю возникновения прямоугольной системы координат, роль ученого Рене Декарта, выполнять творческие задания на построение графических рисунков, составление набора точек с координатами для выполнения таких рисунков.

В ходе реализации проекта обучающиеся работают со справочной литературой, учебником, осуществляют поиск в сети Интернет, оформляют результаты работы с помощью МС Power Point , учатся работать в группе.

Основой проекта являются образовательные стандарты.

Изучение математики на уровне общего образования направлено на достижение следующих целей:

освоение и систематизация знаний основных математических понятий, определений, математических моделей;

овладение умениями и навыками вычислений, тождественных преобразований выражений, исследований, графических построений;

осуществление преемственности в изучении математических объектов и понятий;

подготовка к итоговой аттестации;

развитие логического мышления, вычислительной и графической культуры, способности обобщать и делать выводы;

приобретение опыта выполнения творческой работы, проектной деятельности, освоение компьютерных программ и технологий.

Ожидаемые результаты:

Обучающиеся должны научиться:

изображать прямоугольную систему координат;

определять абсциссу и ординату точки в координатной плоскости;

расставлять точки, заданные координатами;

строить прямые и находить координаты точек их пересечения;

изображать фигуры по заданным координатам точек;

научиться работать в группе;

осуществлять поиск и сбор информации, представлять материал к обсуждению;

использовать приобретенные знания в повседневной жизни;

уметь строить графики с помощью компьютера.

Основная часть.

Аннотация

Координаты встречаются в нашей жизни ежечасно.

Система координат применяется в кинотеатре, на транспорте, в географии существует система координат.

Системы координат встречаются только с двумя величинами?

В морской бой все умеют играть все, и в этой игре применяются координаты.

Как летчики ориентируются в небе?

Положение звезд, наверное, тоже имеет координаты?

Это все встречается в современной жизни.

Но интересен такой факт, как давно система координат пронизывает практическую жизнь человека?

А какие построения можно выполнять в координатной плоскости?

Гипотеза нашего проекта звучит так:

«Знать, чтобы уметь»

« В чистой математике живет всегда художник:

архитектор и даже поэт ».

Принсгейм А.

Координаты вокруг нас.

В нашей речи вы не раз могли слышать такую фразу: «Оставьте мне ваши координаты». Что означает это выражение? Догадались?! Собеседник просит записать свой адрес или номер телефона.

У каждого человека бывают ситуации, когда необходимо определить местонахождение: по билету найдите место в зрительном зале или в вагоне поезда.

Играя в игры, нам приходится определять местоположение «вражеского» корабля, фигуры на шахматной доске.

Разные ситуации? Но суть координат, что в переводе с греческого означает «упорядоченный» или, как обычно говорят, системы координат одно:

это правило, по которому определяется положение того или иного объекта.

Слово «система» также греческого происхождения: «Тема» - нечто заданное, «сис» - составленное из частей. Таким образом, «система» - нечто заданное, составленное из частей (или четко расчлененное целое).

Системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека. Например, по географической карте с помощью географических координат можно определить адрес любой точки. Для этого необходимо знать две части адреса - широту и долготу. Широту определяем с помощью «параллели» - воображаемой линии на поверхности Земли, проведенной на одинаковом расстоянии от экватора. Долгота - по «меридиану » - воображаемой линии на поверхности Земли, соединяющей Северный и Южный полюсы по кратчайшему расстоянию. Параллели - это линии направления запад - восток, меридианы показывают направление север - юг. Знакомо? Прямоугольная система координат.

А как летчики ориентируются в небе? Положение звезд на небе тоже имеет координаты?

Это все встречается в современной жизни. Но интересен такой факт, как давно система координат пронизывает практическую жизнь человека?

История возникновения системы координат.

История возникновения координат и системы координат начинается очень давно, первоначально идея метода координат возникла ещё в древнем мире в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Древнегреческого ученого Анаксимандра Милетского (ок. 610-546 до н. э.) считают составителем первой географической карты. Он четко описывал широту и долготу места, используя прямоугольные проекции.
Более чем за 100 лет до н.э греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести теперь хорошо известные географические координаты: широту и долготу и обозначить их числами.

Идея изображать числа в виде точек, а точкам давать числовые обозначения зародилась в далекой древности. Первоначальное применение координат связано с астрономией и географией, с потребностью определять положение светил на небе и определенных пунктов на поверхности Земли, при составлении календаря, звездных и географических карт. Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта.

Уже во II в. древнегреческий астроном Клавдий Птоломей пользовался широтой и долготой в качестве координат.
Основная заслуга в создании современного метода координат принадлежит французскому математику Рене Декарту. До наших времён дошла такая история, которая подтолкнула его к открытию. Занимая в театре места, согласно купленным билетам, мы даже не подозреваем, кто и когда предложил ставший обычным в нашей жизни метод нумерации кресел по рядам и местам. Оказывается эта идея осенила знаменитого философа, математика и естествоиспытателя Рене Декарта (1596-1650)– того самого, чьим именем названы прямоугольные координаты. Посещая парижские театры, он не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовам на дуэль, вызываемыми отсутствием элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Предложенная им система нумерации, в которой каждое место получало номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в парижском высшем обществе.
Научное описание прямоугольной системы координат Рене Декарт впервые сделал в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также - Декартова система координат. В декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа.
Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти.

Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

Термины «абсцисса» и «ордината» (образованные от латинских слов «отсекаемый» и «упорядоченный») были введены в 70-80 гг. XVII в. немецким математиком Вильгельмом Лейбницем.

Виды систем координат.

Положение любой точки в пространстве (в частности, на плоскости) может быть определено при помощи той или иной системы координат.

Числа, определяющие положение точки, называются координатами этой точки.

Наиболее употребительные координатные системы – прямоугольные.

Кроме прямоугольных систем координат существуют косоугольные системы. Прямоугольные и косоугольные координатные системы объединяются под названием декартовых систем координат .

Иногда на плоскости применяют системы координат, а в пространстве – или системы координат.

Обобщением всех перечисленных систем координат являются системы координат.

Но как говориться лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.

Подробное знакомство с ними произойдет намного позже.

А теперь продолжим изучение данной темы.

Открытие нового материала для обучающихся пройдет в следующем порядке.

Постановка первоначальных целей:

Организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному запоминанию определения положения точки на плоскости, которое задается двумя числами – координатами точки;

содействовать в запоминании порядка записи координат и их названия; в умении отмечать на координатной плоскости точку по заданным ее координатам и читать координаты отмеченной точки;

содействовать развитию компетентной личности;

развивать познавательную активность учащихся, используя на уроке компьютерную презентацию.

Слайд на мультимедийном экране

Вопросы учителя

Ответы учащихся

Назовите координаты точек А, В, С, О

Что можно сказать о соответствии между точками и числами на координатной прямой?

Достаточно ли одного числа, чтобы определить положение точки на плоскости?

А(2), В(-3),

С(-5), О(0)

Однозначное

Нет

Например: что указано в билете в театр или кино?

Номер ряда и номер кресла

Как определить положение фигуры на шахматной доске?

По вертикали-числа, по горизонтали- буквы.

4. y

Чтобы определить положение точки на плоскости проводят две перпендикулярные координатные прямые Х и У , которые пересекаются в точке О

Прямоугольная система координат на плоскости

Положение точки на плоскости задаётся двумя числами, координатами. Термин «координаты» произошёл от латинского слова – «упорядоченный». Чтобы определить положение точки на плоскости, надо построить прямоугольную систему координат. Как это делать, мы сейчас и выясним.

Постройте горизонтальную прямую.

Постройте вертикальную прямую так, чтобы она пересекала данную прямую под прямым углом.

Превратим эти прямые в координатные. Для этого определим положительное направление, укажем начало отсчета, выберем единичный отрезок.

Положительное направление задаётся стрелочкой на каждой прямой: на горизонтальной прямой положительное направление выбирается «слева направо», на вертикальной – «снизу вверх».

Точку пересечения этих прямых обозначим буквой О. Называется точка О –началом координат. Эта буква выбрана не случайно, а по сходству с цифрой 0.

Выбираем единичный отрезок. За единичный отрезок можно принять длину одной, двух клеток и более. Главное правило, что единичный отрезок на каждой прямой, один и тот же, либо одна клетка, или две клетки и. д.

Дать название этим прямым. Горизонтальную прямую обозначаем x. Называется осью абсцисс. Вертикальную прямую обозначаем y, называется осью ординат. .

Вместе эти две прямые называются системой координат. Запишите: «Оси Ох и Оу называются системой координат».

Изобразите в тетрадях прямоугольную систему координат

Как построить точку на координатной плоскости?

Положение на плоскости определяется парой чисел, которую называют координатами точки.

№1. Постройте точки по заданным координатам.

А(3;4) В(4; -3) С(-4; 2) D (-3;-5)

Где лежит точка, если ее абсцисса равна нулю?

N (0; 5) В (0; -2)

Где лежит точка, если ее ордината равна нулю?

D (4; 0) М (-3; 0)

Точка лежит на оси ординат

Точка лежит на оси абсцисс

№2. Даны точки: М (6; 6), N (-2; 2), К (4; 1), Р (-2; 4)

Построить прямые М N , КР.

Найти координаты точки пересечения прямых:

а) М N и КР;

б) MN и ОХ;

в) MN и ОХ;

г) РК и ОХ;

д) РК и ОУ.

Ответ: а) (0; 3) б) (-6; 0) в) (0; 3) г) (6; 0) д) (0; 3).

№3. Историческая задача.

Этот знак в школе Пифагора считался символом дружбы, он был чем-то вроде талисмана, которым одаривали друзей, тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. В средние века он предохранял от нечистой силы, что, впрочем, не мешало называть его «Лапой ведьмы».

Постройте рисунок на координатной плоскости последовательно соединив точки:

А (0; 3), В (-1; 1), С (-3; 1), D (-1; 0), Е (-2; -2), F (0; -1), G (2; -2), К (1;0), L (3; 1), М (1; 1), А (0; 3).

Учащиеся выполняют задание самостоятельно с последующей проверкой

на экране.

У древних греков существовала легенда о созвездиях Большой и Малой Медведицы. Всемогущий Зевс решил взять себе в жёны прекрасную нимфу Калисто, одну из служанок богини Афродиты, вопреки желанию Афродиты. Чтобы избавить Калисто от преследований богини, Зевс обратил Калисто в Большую Медведицу, а её любимую собаку - в Малую Медведицу и взял их на небо.

№4. Постройте по точкам на координатной плоскости созвездия «Большой Медведицы» и «Малой Медведицы», соединяя соседние точки отрезками.

А(6;6), В(3;7), С(0;8), D(-3;5), E (-6;3), F (-8;5), G (-5;7)

K (-15;-7), L (-10;-5), M (-6;-5). N (-3;-6), O (-1;-10), P (5;-10), R (6;-6)

После овладения обучающимися основных умений и навыков им предлагаются задания повышенной сложности и творческого характера.

Задания 1. Работаем с координатной плоскостью:

а) зашифруйте с помощью координат слово РОДИНА;

б) расшифруйте предложение:

(-3; 1), (-1; 0), (-2; 0), (2; 2), (-3; 1), (-1; 0), (-2; 0), (3; 1),

(3; -1), (-1; 0), (-2; 2), (3; 1), (-3; 1), (0; -2), (-2; 0), (2; 0),

(-2; 0), (3; 1), (3; -1), (-1; 0), (2; 1), (-3; 1), (-1; 0).

(«Математика – гимнастика ума»).

Задания 2. Задачи, в которых точки требуется соединить последовательно с помощью отрезков. Возможно, предлагаемые рисунки помогут некоторым ребятам научиться рисовать. Контур рисунка максимально приближен к действительности.

« Отметь и соедини»

I . «Самолёт».

(-2; 4,5), (-0,5; 4), (0; 4), (5,5; 6,5), (7,5; 5,5), (2,5; -1), (1,5; - 2), (- 5; - 7), (- 6; - 5), (-3,5; 0,5), (-3,5; 1), (-4; 2,5), (-5,5; 5,5) , (-5,5; 6), (-5; 6), (-2; 4,5), (-1; 3,5), (3,5; -2,5), (4,5; -3,5), (6,5;-2,5), (7,5;-3), (6;-5), (6,5;-6), (5,5;-5,5), (3,5;-7), (3;-6), (4;-4), (3;- 3), (-3; 1,5),(-4; 2,5).

II . «Бабочка».

(4; 9), (5; 8), (5; 7), (3; 3), (2;3), (2;1), (0;-1), (5; 1), (9; 0), (11;-2), (11;-4), (4;-8), (2;-7), (1; -9), (0; -10), (-4;-10), (-4;-8), (-3;-4), (-4;-5), (-5;-5), (-5;-4), (-4;-3), (-8;-4), (-10; -4), (-10;0),(-9;-1), (-7; 2), (-8; 4), (-4; 11), (-2; 11), (0; 9), (1; 5), (-1; 0), (1; 2), (3; 2), (3; 3), (7; 5), (8; 5), (9; 4).

III . «Воробей». Единичный отрезок – 1клетка.

(-6; 7), (-5; 8), (-4,5; 9), (-3; 9,5), (-1; 9), (0; 6), (1; 5), (4; 7), (7; 8), (9; 6), (12; 2), (13; 1), (7; 1), (5; -1), (6; -3), (8; -4), (11; -5), (13; -6), (12; -7), (11; -8), (9; -10), (8; -11), (7; -9), (6; -6), (5; -4), (-2; -2), (-7; -2), (-12; -5), (-11; 1), (-10; 3), (-7; 4), (-3; 4), (-4; 6), (-5; 7), (-6; 7).

IY . «Белочка». Единичный отрезок – 2 клетки.

(3; -5), (4; -3,5), (4; -2,5), (3; -0,5), (2; 0,5), (3; 1,5), (0; 3), (-1; 3.5), (-1,5; 4), (1,5; 4,5), (-2; 5), (-2; 4,5), (-2,5; 5), (-2; 4), (-2; 3,5), (-2,5; 3), (-3; 1,5), (-1,5; 1), (-1; 1,5), (-0,5; 0,5), (-0,5; 0), (-1,5; -1), (-2; -2), (-1,5; -2), (-0,5; -1), (0; -1), (0,5, -2), (-0,5; -2), (-1,5; -3), (-1,5; -4), (-1; -5), (0; -5,5), (-0,5; -5,7), (-2; -5,5), (-2,5; -6), (2; -6), (2,5; -5,7), (3,5; -6), (4,5; -5,5), (5,5; -4,5), (5,5; -3), (5; 0), (5,5; 2), (6,5; 2), (6; 4); (3,5; 5,5), (1,5; 4,5), (1; 3,5), (1; 2,5), (2; 0,5).

Y . «Дельфин». Единичный отрезок – 1клетка.

(-8; 7), (-7; 8), (-5; 7), (-4; 8), (-2; 9), (0; 9), (2; 8), (5; 6), (9; 4), (10; 3), (8; 3), (6; 2), (6; 0),

(5; -3), (4; -5), (2; -7), (0; -8), (0; -11), (-1; -12), (-2; -10), (-3; -9), (-5; -8), (-4; -7), (-3; -5),

(-4; -3), (-6; -2), (-8; -3), (-9; -5), (-8; -7), (-6; -8), (-4; -7), (-1; -7), (1; -4), (1; -1), (0; 1),

(-1; 2), (-6; 6), (-8; 7).

YI . «Ласточка». Единичный отрезок – 1клетка.

(5; 9), (5; 6), (10; 5), (13; 4), (9; 3), (3; 2), (2; 2), (-1; 3), (-1; 5), (-3; 4), (-6; -3),

(-8; 2,5), (-10;2), (-9; 3), (-9; 4), (-8; 5), (-7; 5), (-5; 7), (0; 11), (7; 15), (12; 22), (9; 16), (15; 20), (8; 14), (6; 11), (5; 9), (0;11), (-2; 12), (-4; 12), (-4; 15), (-5;20), (-7; 15), (-8; 11), (-8; 8), (-6; 8), (-5; 7).

YII . «Сорока». Единичный отрезок – 1клетка.

(- 9; 1,5), (-7; 1,8), (-6; 2), (-5; 2), (-3; 1), (0; 1), (2; 2), (4; 5), (5; 7), (7; 8), (9; 8), (9; 7), (10; 7), (10; 5), (9; 3), (4; 0), (3; -1), (4; -4), (5; -5),(1; -5), (-1; -4), (0,5; -4,7), (0; -5),

(-3; -4), (-7; 0), (-9; 0), (-8; 0,5), (-7; 0,1), (-7,5; 1), (-9; 1,5).

Лапы: (-5; -4), (-3; -4), (-4; -5), (-4; -6), (0; -6) и (-4; -7), (0; -5).

YIII . «Дубовый лист». Единичный отрезок – 1клетка.

(7; 8), (-8; -7), (-9; -9), (-10; -9), (-9; -8), (-6; -4), (-8; -3), (-8; -1), (-7; 0), (-6; -1),

(-6; 4), (-4; 6), (-3; 5), (-3; 4), (-2; 5), (-1; 8), (1; 10), (2; 10), (3; 8), (6; 10), (8; 10), (9; 9), (9; 7), (7; 4), (9; 3), (9; 2), (7; 0), (4; -1), (3; -2), (4; -2), (5;-3), (3; -5), (-2;-5), (-1;-6),

(-2;-7), (-4;-7), (-5; -5).

IX . «Утка». Единичный отрезок – 1клетка.

(-1; 2), (0; 2), (1; 1), (1; 0), (0; -2), (-8; -8), (-7; -6), (-7; -4), (-6; -1), (-5; 1), (-1; 5),

(-2; 8), (-2; 9), (-1; 10), (1; 10), (2; 9), (5; 8), (2; 8), (1; 7), (2; 5), (3; 2), (3; 1), (2; -1), (2; -2), (-1; -5), (-1; -8), (1; -9), (0; -10), (-1; -9), (-1; -10), (-2; -8), (-2; 5,5), (-5; -7),

(-6; -9), (-9; -9), (-8; -8).

X . «Окунь». Единичный отрезок – 1клетка.

(- 11; 3), (-9; 3), (-8; 1), (-8; 0), (-10; -2), (-13;-2), (-15; 0), (-14; 2), (-9; 6), (-7; 7), (-5; 7), (3; 4), (5; 5), (1; 7), (-2;10), (-4; 9), (-5; 7), (6; 3), (8; 4), (11; 6), (13; 6), (13; 5), (11; 2), (11; 1), (13; -2), (13; -3), (11; -3), (7; 0), (4; 0), (2; -2), (4;-3), (5;-3), (6;-2), (5;-1), (3;-1), (2;-2), (-4;-3), (-5; -3), (-4; -5), (-3; -6), (-2; -5), (-2; -4), (-4; -3), (-6; -3), (-10; -2).

Плавник:(-8; -1), (-6; 0), (-5; 0), (-4; -1),(-6; -2), (-8; -2).

Глаз: (-12; 1), (-12; 2), (-11; 2),(-11; 1), (-12; 1).

XI . Слоник. Единичный отрезок – 1клетка.

(2; - 3), (2; - 2), (4; - 2), (4; - 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2), (- 4; 5), (0; 8),

(2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; - 2), (5; - 3), (2; - 3).

2) (4; - 3), (4; - 5), (3; - 9), (0; - 8), (1; - 5), (1; - 4), (0; - 4), (0; - 9), (- 3; - 9), (- 3; - 3), (- 7; - 3), (- 7; - 7), (- 8; - 7), (- 8; - 8), (- 11; - 8), (- 10; - 4), (- 11; - 1), (- 14; - 3),
(- 12; - 1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5).

3) Глаза: (2; 4), (6; 4).

XII . Лось. Единичный отрезок – 1клетка.

(-2; 2), (-2; -4), (-3; -7), (-1; -7), (1; 4), (2; 3), (5; 3), (7; 5), (8; 3), (8; -3), (6; -7),

(8; -7), (10; -2), (10; 1), (11; 2,5), (11; 0), (12; -2), (9;-7), (11;-7), (14;-2), (13; 0),

(13; 5), (14;6), (11; 11),(6; 12),(3; 12),(1; 13),(-3; 13),(-4;15), (-5; 13), (-7; 15),

(-8; 13), (-10; 14), (-9; 11), (-12; 10), (-13; 9), (-12; -8), (-11; 8), (-10; 9), (-11; 8),

(-10; 7), (-9; 8), (-8; 7),(-7; 8), (-7; 7), (-6; 7), (-4; 5), (-4; -4), (-6; -7),(-4; -7), (-2; -4).

Соединить: (11; 2,5) и (13; 5).

Глаз: (-7; 11).

Задания 3. Следующий вид работ – это построение симметричных фигур. Карточка крепится скрепками к тетрадному листу так, чтобы совпали клетки карточки с клетками тетради (или перерисовывается), и строится симметричная картинка. (Приложение 3)

Задания 4. Комбинированные зачеты по теме «Решение уравнений и координатная плоскость» .

В каждой карточке содержится несколько уравнений и пара чисел, одно из которых – буква. Чтобы найти соответствующую координату, нужно решить уравнение, а только потом по строить соответствующую точку. Последовательно решая ряд урав нений, выстраивая точки и соединяя их, получаем рисунок.

Решите уравнения и постройте по точкам соответствующий рисунок.

1. 8х + 10 = 3х – 10 (х; 1)

2. 10(у – 2) – 12 = 14(у – 2) (-4; у)

3. -25(-8х + 6) = -750 (х; -1)

4. -10(-4у + 10) = -300 (-3; у)

5. -10х + 128 = -64х (х; -5)

6. 3(5у – 6) = 16у – 8 (-2; у)

7. -5(3х + 1) – 11 = -1 (х; -10)

8. -8у + 4 = -2(5у + 6) (-1; у)

9. 20 + 30х = 20 + х (х; -8)

10. 26 – 5у = 2 – 9у (0; у)

11. 9х + 11 = 13х – 1 (х; -6) 26. 3(у – 1) – 1 = 8(у – 1) – 6 (0; у)

12. 12х + 31 = 23х – 2 (х; -8) 27. 5(х – 6) – 2 = (х – 7) – 6 (х; 2)

13. 2(х – 2) – 1 = 5(х – 2) – 7 (х; -8) 28. 28 + 5х = 44 + х (х; 4)

14. –у + 20 = у (4; -у) 29. 15х + 40 = 29х – 2 (х; 4)

15. 4(2х – 6) = 4х – 4 (х; -10) 30. 51 + 3у = 57 + у (3; у)

16. -9у + 3 = 3(8у + 45) (5; у) 31. -50(-3х + 10) = -200 (х; 3)

17. 20 + 5х = 44 + х (х; -4) 32. -62(2у + 22) = -1860 (2; у)

18. 27 – 4у = 3 – 8у (6; у) 33. -11х + 52 = 41х (х; 4)

19. 5х + 11 = 7х – 3 (х; -6) 34. 14(3у – 5) = 19у – 1 (1; у)

20. 8у + 11 = 4у – 1 (7; у) 35. 88 + 99х = 187 + х (х; 3)

21. -23(-7у + 2) = -529 (0; у) 36. 77 + 100х = 177 + х (х; 4)

22. 8у + 12 = 12 + х (х; -2) 37. 38 – 5у = 34 – 4у (-1; у)

23. 6у + 7 = 2 + у (-1; у) 38. 26 – 4х = 28 – 2х (х; 2)

24. -2у + 15 = 13у (-1; у) 39. 10 + 9у = 26 + у (-2; у)

25. 18 + 16х = 18 + х (х; 1) 40. -20(-10у + 4) = 120 (-2; у)

Заключение

Важной задачей преподавания математики в современном мире является развитие личности обучающихся путем формирования его внутреннего мира. Происходит получение научных знаний об объективном мире вокруг, развитие творческого восприятия этого мира, эстетических вкусов.

Главный смысл данного проекта – это подготовить обучающихся 6 класса к восприятию изучения одной из важных тем математики «Функция», развивать творческие способности детей, применять изученное в жизни.

Введение в данную тему происходит с вовлечения детей в определенную работу по открытию новых знаний.

Цели и задачи, поставленные в проекте выполнены.

В ходе работы над проектом обучающиеся познакомились:

С понятием «координатная плоскость»;

Координаты точки на плоскости;

С понятием «симметрия» и ее красота в природе;

С историей возникновения системы координат,

Широким кругом применения системы координат в жизни;

научились:

Строить на координатной плоскости геометрические фигуры (прямая, отрезок, луч, многоугольник);

Строить любые рисунки, подбирая соответствующие координаты для точек;

Указывать последовательность точек для заданной фигуры;

Использовать компьютер для отыскивания дополнительного материала,

Строить рисунки с помощью компьютера,

Помогать друг другу.

В процессе работы над проектом у детей проявились определенные творческие способности при составлении рисунков у всех детей, даже у тех, кто не умеет рисовать.

Выполнение таких заданий заставляют увидеть связь красоты и математики.

Распределение занятий по уровням сложности позволило обучающимся выбирать задание по способностям и познавательным интересам. После таких занятий ученик захочет порисовать самостоятельно в свободное время.

По окончании работы над проектом итогом стала создание сборника «Рисунки на координатной плоскости». В него войдут самые интересные рисунки и другие задания детей, которые могут использоваться всеми желающими учениками, учителями.

Литература:

Математика, 6 класс, авторы Виленкин Н.Я., Жохов В.И и др., Изд.»Мнемозина», 2010 г.

Сайт википедии: .

InternetUrok.ru.

Журнал «математика в школе», №10-2001 год.

Математика - наука довольно сложная. Изучая ее, приходится не только решать примеры и задачи, но и работать с различными фигурами, и даже плоскостями. Одной из наиболее используемых в математике является система координат на плоскости. Правильной работе с ней детей учат не один год. Поэтому важно знать, что это такое и как правильно с ней работать.

Давайте же разберемся, что представляет собой данная система, какие действия можно выполнять с ее помощью, а также узнаем ее основные характеристики и особенности.

Определение понятия

Координатная плоскость - это плоскость, на которой задана определенная система координат. Такая плоскость задается двумя прямыми, пересекающимися под прямым углом. В точке пересечения этих прямых находится начало координат. Каждая точка на координатной плоскости задается парой чисел, которые называют координатами.

В школьном курсе математики школьникам приходится довольно тесно работать с системой координат - строить на ней фигуры и точки, определять, какой плоскости принадлежит та или иная координата, а также определять координаты точки и записывать или называть их. Поэтому поговорим подробнее обо всех особенностях координат. Но прежде коснемся истории создания, а затем уже поговорим о том, как работать на координатной плоскости.

Историческая справка

Идеи о создании системы координат были еще во времена Птоломея. Уже тогда астрономы и математики думали о том, как научиться задавать положение точки на плоскости. К сожалению, в то время еще не было известной нам системы координат, и ученым приходилось пользоваться другими системами.

Изначально они задавали точки с помощью указания широты и долготы. Долгое время это был один из наиболее используемых способов нанесения на карту той или иной информации. Но в 1637 году Рене Декарт создал собственную систему координат, названную впоследствии в честь "декартовой".

Уже в конце XVII в. понятие «координатная плоскость» стало широко использоваться в мире математики. Несмотря на то что с момента создания данной системы прошло уже несколько веков, она до сих пор широко используется в математике и даже в жизни.

Примеры координатной плоскости

Прежде чем говорить о теории, приведем несколько наглядных примеров координатной плоскости, чтобы вы смогли представить ее себе. В первую очередь координатная система используется в шахматах. На доске каждый квадрат имеет свои координаты - одну координату буквенную, вторую - цифровую. С ее помощью можно определить положение той или иной фигуры на доске.

Вторым наиболее ярким примером может служить любимая многими игра «Морской бой». Вспомните, как, играя, вы называете координату, например, В3, таким образом указывая, куда именно целитесь. При этом, расставляя корабли, вы задаете точки на координатной плоскости.

Данная система координат широко применяется не только в математике, логических играх, но и в военном деле, астрономии, физике и многих других науках.

Оси координат

Как уже говорилось, в системе координат выделяют две оси. Поговорим немного о них, так как они имеют немалое значение.

Первая ось - абсцисс - горизонтальная. Она обозначается как (Ox ). Вторая ось - ординат, которая проходит вертикально через точку отсчета и обозначается как (Oy ). Именно эти две оси образуют систему координат, разбивая плоскость на четыре четверти. Начало отсчета находится в точке пересечения этих двух осей и принимает значение 0 . Только в случае если плоскость образована двумя пересекающимися перпендикулярно осями, имеющими точку отсчета, это координатная плоскость.

Также отметим, что каждая из осей имеет свое направление. Обычно при построении системы координат принято указывать направление оси в виде стрелочки. Кроме того, при построении координатной плоскости каждая из осей подписывается.

Четверти

Теперь скажем пару слов о таком понятии, как четверти координатной плоскости. Плоскость разбивается двумя осями на четыре четверти. Каждая из них имеет свой номер, при этом нумерация плоскостей ведется против часовой стрелки.

Каждая из четвертей имеет свои особенности. Так, в первой четверти абсцисса и ордината положительная, во второй четверти абсцисса отрицательная, ордината - положительная, в третьей и абсцисса, и ордината отрицательные, в четвертой же положительной является абсцисса, а отрицательной - ордината.

Запомнив эти особенности, можно с легкостью определить, к какой четверти относится та или иная точка. Кроме того, эта информация может пригодиться вам и в том случае, если придется делать вычисления, используя декартову систему.

Работа с координатной плоскостью

Когда мы разобрались с понятием плоскости и поговорили о ее четвертях, можно перейти к такой проблеме, как работа с данной системой, а также поговорить о том, как наносить на нее точки, координаты фигур. На координатной плоскости сделать это не так тяжело, как может показаться на первый взгляд.

В первую очередь строится сама система, на нее наносятся все важные обозначения. Затем уже идет работа непосредственно с точками или фигурами. При этом даже при построении фигур сначала на плоскость наносятся точки, а затем уже прорисовываются фигуры.

Правила построения плоскости

Если вы решили начать отмечать на бумаге фигуры и точки, вам понадобится координатная плоскость. Координаты точек наносятся именно на нее. Для того чтобы построить координатную плоскость, понадобится только линейка и ручка или карандаш. Сначала рисуется горизонтальная ось абсцисс, затем вертикальная - ординат. При этом важно помнить, что оси пересекаются под прямым углом.

Следующим обязательным пунктом является нанесение разметки. На каждой из осей в обоих направлениях отмечаются и подписываются единицы-отрезки. Это делается для того, чтобы затем можно было работать с плоскостью с максимальным удобством.

Отмечаем точку

Теперь поговорим о том, как нанести координаты точек на координатной плоскости. Это основа, которую следует знать, чтобы успешно размещать на плоскости разнообразные фигуры, и даже отмечать уравнения.

При построении точек следует помнить, как правильно записываются их координаты. Так, обычно задавая точку, в скобках пишут две цифры. Первая цифра обозначает координату точки по оси абсцисс, вторая - по оси ординат.

Строить точку следует таким образом. Сначала отметить на оси Ox заданную точку, затем отметить точку на оси Oy . Далее провести воображаемые линии от данных обозначений и найти место их пересечения - это и будет заданная точка.

Вам останется только отметить ее и подписать. Как видите, все довольно просто и не требует особых навыков.

Размещаем фигуру

Теперь перейдем к такому вопросу, как построение фигур на координатной плоскости. Для того чтобы построить на координатной плоскости любую фигуру, следует знать, как размещать на ней точки. Если вы умеете это делать, то разместить фигуру на плоскости не так уж и сложно.

В первую очередь вам понадобятся координаты точек фигуры. Именно по ним мы и будем наносить на нашу систему координат выбранные вами Рассмотрим нанесение прямоугольника, треугольника и окружности.

Начнем с прямоугольника. Наносить его довольно просто. Сначала на плоскость наносятся четыре точки, обозначающие углы прямоугольника. Затем все точки последовательно соединяются между собой.

Нанесение треугольника ничем не отличается. Единственное - углов у него три, а значит, на плоскость наносятся три точки, обозначающие его вершины.

Касательно окружности тут следует знать координаты двух точек. Первая точка - центр окружности, вторая - точка, обозначающая ее радиус. Эти две точки наносятся на плоскость. Затем берется циркуль, измеряется расстояние между двумя точками. Острие циркуля ставится в точку, обозначающую центр, и описывается круг.

Как видите, тут также нет ничего сложного, главное, чтобы под рукой всегда были линейка и циркуль.

Теперь вы знаете, как наносить координаты фигур. На координатной плоскости это делать не так уж и сложно, как может показаться на первый взгляд.

Выводы

Итак, мы рассмотрели с вами одно из наиболее интересных и базовых для математики понятий, с которым приходится сталкиваться каждому школьнику.

Мы с вами выяснили, что координатная плоскость - это плоскость, образованная пересечением двух осей. С ее помощью можно задавать координаты точек, наносить на нее фигуры. Плоскость разделена на четверти, каждая из которых имеет свои особенности.

Основной навык, который следует выработать при работе с координатной плоскостью, - умение правильно наносить на нее заданные точки. Для этого следует знать правильное расположение осей, особенности четвертей, а также правила, по которым задаются координаты точек.

Надеемся, что изложенная нами информация была доступна и понятна, а также была полезна для вас и помогла лучше разобраться в данной теме.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Актуальность исследования : Почему я выбрала именно эту тему? При изучении темы «Координатная плоскость» на факультативе я познакомилась с красивыми заданиями. Они вызвали у меня большой интерес. Все учащиеся нашего класса с удовольствием рисовали рисунки на координатной плоскости. Мы научились понимать, что из абстрактных точек можно получить знакомый рисунок: изображали не только отдельные точки, но и любые предметы, животных и растения. Когда мой учитель математики Наталья Алексеевна задала нам домашнее задание - придумать свой рисунок в координатной плоскости и выписать к нему координаты точек, по которым можно построить этот чертеж, мне так понравилось это задание. И я захотела придумать свои занимательные задания на построение рисунков в координатной плоскости.

Гипотеза : Я предполагаю, что задания, созданные мной, будут очень интересны моим одноклассникам.

Цель исследования:

создать занимательные задания на построение рисунков для работы на уроках математики.

Задачи:

• найти необходимую информацию по данной теме;
• познакомиться с историей возникновения координат;
• создать свои занимательные задания на построение рисунков в координатной плоскости;
• изучить зодиакальные созвездия;
• построить изображение созвездий на координатной плоскости;
• провести астрологические исследования обучающихся 6 «Б» класса;
• провести опрос среди одноклассников и продемонстрировать результаты моего исследования.

Объекты исследования:

• координатная плоскость;
• знаки Зодиака;
• зодиакальные созвездия;
• ученики 6 «Б» класса.

Предмет исследования: построение на координатной плоскости.

Ожидаемые результаты:

Создать наглядные пособия по исследуемой теме в форме карточек с заданиями, которые можно использовать учителю на уроке и стенда в помощь школьникам.

1. Теоретическая часть:

1.1.Историческая справка

История возникновения координат и системы координат начинается очень и очень давно. Первоначально идея метода координат возникла ещё в древнем мире в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Древнегреческого ученого Анаксимандра Милетского (ок. 610-546 до н. э.) (Рис. 1) с​ч​и​т​а​ют первым составителем географической карты. Он четко описывал широту и долготу места, используя прямоугольные проекции.

Рис. 1

Во II веке греческий учёный Клавдий Птолемей (Рис. 2) - астроном, астролог, математик, механик, оптик, теоретик музыки и географ, пользовался широтой и долготой в качестве координат. Он оставил глубокий след и в других областях знания — в оптике, географии, математике, а также в астрологии.

Рис. 2

В XIV веке французский математик Никола Орем (Рис. 3) ввёл по аналогии с географическими, координаты

на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой. Это нововведение оказалось очень продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй.

Рис. 3

Точка плоскости заменяется парой чисел (х; у), т.е. алгебраическим объектом. Слова « абсцисса», «ордината», «координаты» первым начал использовать в конце XVII века Готфрид Вильгельм Лейбниц. (Рис. 4)

Рис. 4

1.2.Рене Декарт

Но основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Рене Декарту (Рис. 5) .

В 1637 году Рене Декарт создал собственную систему координат, названную впоследствии в его честь «Декартовой».

Рис. 5

Рене Декарт - французский математик, философ, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автор метода радикального сомнения в философии, механицизма в физике.

Существует несколько легенд об изобретении системы координат.

До наших времён дошли такие истории.

Легенда 1: Посещая парижские театры, Декарт не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовам на дуэль, вызываемыми отсутствием элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Предложенная им система нумерации, в которой каждое место получало номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в парижском высшем обществе.

Легенда 2: Однажды Рене Декарт весь день пролежал в кровати, думая о чем-то, а муха жужжала вокруг и не давала ему сосредоточиться. Он стал размышлять, как бы описать положение мухи в любой момент времени математически, чтобы иметь возможность прихлопнуть ее без промаха. И... придумал, декартовы координаты, одно из величайших изобретений в истории человечества.

После опубликования труда «Геометрия», система Рене Декарта завоевала признание в научных кругах и повлияла на развитие всех направлений математических наук. Благодаря изобретенной им системе координат, получилось реально истолковать происхождение отрицательного числа.

Уже в конце XVII века понятие координатная плоскость стала широко использоваться в мире математики.

1.3. Другие виды систем координат

Полярная система координат.

Применяется в случаях, когда местонахождение точки определяется на плоскости.

Применяют такую систему в навигации, в медицине (компьютерная томография), в геодезии, в моделировании.

Рис. 6

Косоугольная система координат , наиболее сходна с прямоугольной (Декартовой). Используется в некоторых механизмах, при расчете в механике, при проецировании предметов.

Рис. 7

Сферическая система координат.

Применяется для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях, путём задания трёх координат. Применяется в астрономии.

Рис. 8

Цилиндрическая система координат.

Она является расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты, которая задаёт высоту точки над плоскостью. Используется в географии, в военном деле.

Рис. 9

2. Практическая часть

I этап: ноябрь - декабрь 2017 года

• собрала информацию об истории изобретения системы координат,
• научилась отмечать точки в координатной плоскости раньше, чем мы изучили данную тему в классе (дата прохождения в школе 07.02.2018г.),
• составила чертежи на координатной плоскости для своих рисунков и выписала их координаты,
• представила результаты своей работы одноклассникам в январе 2018 года.

Всего мной было создано 13 чертежей и выписаны координаты точек, по которым можно их построить. Данные задания можно использовать в качестве материала на уроках математике по теме «Координатная плоскость». Все чертежи находятся в приложении 1 к работе.

Для того, чтобы проверить координаты моих рисунков, я со своим учителем математики Натальей Алексеевной провела три урока математики у моих одноклассников и учеников 6 «а» и 6 «в». Им были выданы карточки с координатами точек, и они выполнили построения. Данный эксперимент подтвердил, что все координаты точек на моих рисунках соответствуют моим чертежам. Рисунки очень понравились школьникам.

Вот какие отзывы я получила:

• Интересное задание. Вероника - хороший человек.
• Вероника, спасибо тебе большое за интересное задание.
• Мне очень понравилось. Побольше бы таких заданий. Спасибо!
• Мне всё понравилось, понятно и просто! Спасибо!
• Всё очень классно! Получилось! Спасибо!
• Спасибо за интересную и занимательную работу, а так же за классные рисунки!
• Было классно и интересно. Я сначала не понял, что это, но мне подсказали. На самом деле всё было классно и фигурки такие сложноватые. Мне всё понравилось.
• Классные, большие, лучшие.
• В качестве преподавателя Вероника хорошая. Всегда поможет, никого не оставит без внимания. Мне понравилось!
• Это самая топовая работа. Самый крутой урок математики.

Можно сделать вывод , о том, что моя гипотеза подтвердилась - задания, созданные мной, были очень интересны моим одноклассникам.

II этап: январь 2018 года

Я не стала останавливаться только на создании занимательных заданий, на построении рисунков в координатной плоскости. Мне всегда нравилось наблюдать за звездным небом. Но тогда я и не догадывалась, что помимо красивого расположения на небе, о зодиакальных созвездиях можно узнать уникальные, интереснейшие мифы и легенды, теории происхождения и многое другое о знаках Зодиака. В процессе работы над проектом я решила исследовать знаки Зодиака и связать их расположение с координатной плоскостью, тем самым расширить свои знания не только по математике, но и по астрономии. Я думаю, что задания на построение созвездий, будут очень интересны моим одноклассникам. О зодиакальных созвездиях знают многие, но как они выглядят - не все. Эта часть моей работы направлена на построение знаков Зодиака на координатной плоскости.

На этом этапе своего исследования:

• собрала информацию о датах рождения одноклассников,
• составила астрологическую характеристику 6 «б» класса,
• нашла информацию о данных знаках Зодиака и их созвездиях,
• составила чертежи на координатной плоскости для каждого созвездия и выписала координаты графиков,
• представила результаты своей работы одноклассникам 09.02.2018 года.

Для составления астрологической характеристики 6 «б» класса я провела опрос:

- «Кто Вы по знаку зодиака?»,

-«Знаете ли вы как выглядит ваше созвездие?» и составила таблицу №1 по данным ответов.

Таблица №1

Из которых видно, что (100%) учащихся не знают, как выглядит их созвездие.

ВЕСЫ (24.09 - 23.10). В нашем классе 3 человека.

Весы не ищут легких путей и могут бесконечно рассуждать над самым легким вопросом, всегда очень общительны.

Таблица №2

КОЗЕРОГ (22.12 - 20.01). В классе 2 человека.

Люди с этим знаком зодиака являются большими мечтателями. Поставив перед собой цель, четко движутся к ней.

Таблица №3

ВОДОЛЕЙ (21.01 - 20.02). В классе 1 человек.

Водолеи абсолютные реалисты. Люди с этим знаком зодиака глубоко заинтересованы в том, чтобы превратить мир в лучшее место для жизни. Они добры, любопытны, спокойны и рассудительны.

Таблица №4

РЫБЫ (21.02 - 20.03). В классе 3 человека.

Рыбы много знают и столько же требуют. Характер у Рыб очень раним поэтому их легко обидеть.

Таблица №5

ОВЕН (21.03 - 20.04). В классе 1 человек.

Овны великодушны, добры, честны и оптимистичны. У Овнов нестандартное мышление.

Таблица №6

ТЕЛЕЦ (21.04 - 20.05). В классе 3 человека.

Тельцы любят жизнь за то, что они живут. Они умеют трудиться.

Таблица №7

БЛИЗНЕЦЫ (21.05 - 21.06). В нашем классе детей с этим знаком 4 человека. Развитый ум Близнецов зачастую приводит к преувеличению событий. Люди с таким знаком зодиака обладают чрезмерным упрямством, самоуверенностью, болтливостью и своеволием.

Таблица №8

РАК (22.06 - 22.07). В классе 1 человек.

Все без исключения Раки обладают доверчивостью, мягкостью и ранимостью.

Таблица №9

ЛЕВ (23.07 - 23.08). В классе 4 человека.

Львы трудолюбивы до фанатизма, предприимчивы и настойчивы при достижении цели. Они сами ставят себе задачи, стараясь максимально реализоваться в разных сферах.

Таблица №10

Вывод: всего в нашем классе 9 знаков зодиака. Больше всего ребят, родившихся под созвездиями Близнецы и Лев, по 4 человека, под созвездиями - Рыб, Весов и Тельцов по 3 человека, 2 человека родились под созвездиями Козерога, Рак, Овен и Водолей по 1 человеку. Исходя из характеристик знаков, в целом можно сказать о нашем классе, что мы умны, трудолюбивы, настойчивы, нам всё интересно, мы доверчивы, оптимистичны и рассудительны, немного болтливы и своевольны. Мы любим жизнь и пытаемся много понять и многому научиться.

Заключение

В ходе выполнения данной исследовательской работы мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выбранной теме. Я познакомилась с историей возникновения координат, узнала о различных видах систем координат и их назначении. Во время создания заданий на построение рисунков по координатам точек я отработала тему «Координатная плоскость» полностью. Эти задания развивают внимательность у учащихся. Работая над проектом, я узнала много нового о созвездиях знаков зодиака. Я поделилась собранной информацией с одноклассниками, им было интересно увидеть свой знак зодиака и построить его на координатной плоскости. В практической части на каждой карточке есть изображение одного из знаков зодиака и даны координаты точек (звёзд) и пути соединения этих точек. Моя гипотеза подтвердилась - задания, созданные мной, были очень интересны моим одноклассникам.

По окончанию работы считаю, что гипотеза моя доказана, поставленные цель и задачи выполнены. Я и мои одноклассники довольны полученными новыми знаниями.

Источники информации

1. Асмус В. Ф. Античная философия. — М.: Высшая школа, 1998, с. 11.
2. Асмус В. Ф. Декарт. — М.: 1956.Переиздание: Асмус В. Ф. Декарт. — М.: Высшая школа, 2006.
3. Бронштэн В. А. Клавдий Птолемей . М.: Наука, 1985. 239 стр. 15000 экз.
4. Григорьев — Динамика. — М.: Большая российская энциклопедия, 2007
5. Житомирский С. В. Античная астрономия и орфизм. — М.: Янус-К, 2001.
6. Ланской Г. Ю. Жан Буридан и Николай Орем о суточном вращении Земли // Исследования по истории физики и механики. 1995 —1997. — М.: Наука, 1999.
7. Википедия. Лейбниц. Готфрид Вильгельм
8. http://v-kosmose.com/sozvezdiya/
9. Фотографии созвездий - http://womanadvice.ru/sozvezdiya-znakov-zodiaka
10. http://womanadvice.ru/sozvezdiya-znakov-zodiaka

ПРИЛОЖЕНИЕ 1:

Задания для построения рисунков по координатам

российские математики

Keldysh M.
(10.02.1911 - 24.06.1978)

Академик Мстислав Всеволодович Келдыш родился в профессорской семье с традициями, заложенными его дедами: по линии матери - полным генералом от инфантерии (пехоты) Скворцовым А.Н. и по линии отца - Келдышем М. Ф., закончившим духовную семинарию, но затем избравшим медицинскую стезю и дослужившимся до генеральского чина.

После окончания физико-математического отделения МГУ в 1931 году он был направлен на работу в ЦАГИ (Центральный аэро-гидродинамический институт), куда его настойчиво рекомендовал руководству его учитель (а впоследствии старший товарищ, академик) один из ведущих сотрудников Общетеоретической группы ЦАГИ М.А.Лаврентьев.

Своими первыми работами (1933 г.) Келдыш обратил на себя внимание такого выдающегося ученого, каким был научный руководитель ЦАГИ С.А.Чаплыгин, который поставил перед молодым теоретиком-математиком и механиком задачу с немедленным практическим применением. Научная ценность этих работ не только в том, что они решали актуальные задачи тех лет, но и положили начало новым подходам в применении математических методов для решения проблем гидро- аэродинамики.

В 30-е годы одной из таких в авиации была проблема преодоления явления "флаттера", который неожиданно возникал при увеличении скоростей самолетов. С явлением флаттера столкнулось авиастроение всех передовых стран, но раньше других и в наиболее полном наборе всех его разновидностей флаттер был преодолен у нас в стране, благодаря работам М.В.Келдыша и его коллег. И сейчас с большим интересом читаются работы того времени, где на основании сложных математических исследований очень доступно формулируются выводы и излагаются практические приемы, следование которым исключает возникновение автоколебаний самолетных конструкций (флаттера) во всем диапазоне скоростей полета. Так явление флаттера перестало быть барьером на путях развития скоростной авиации, и к Отечественной войне (1941-1945 гг.) наше самолетостроение пришло без этой болезни, чего нельзя было сказать о противнике.

В 1938 г. Келдыш защитил докторскую диссертацию на тему "О представлении рядами полиномов функций комплексного переменного и гармонических функций". Специалисты расценили ее как классическую, завершившую большой этап исследований в важном разделе математики и одновременно открывающую новый.

Решая проблелы по флаттеру и шимми "Шимми переднего колеса трехколесного шасси" (1945 г.) Келдыш продолжает заниматься математикой. Значимость этих работ для развития математики ничуть не меньшая, чем названных выше для авиации, тем более, что последние едва ли могли быть выполнены без фундаментальных исследований в соответствующих разделах математики. По-видимому, фундаментальные продвижения в математической науке, вытекавшие из работ М.В.Келдыша по теории приближений, функциональному анализу, дифференциальным уравнениям, были обусловлены его умением, сохранив существо проблемы, сформулировать решаемую задачу в наиболее простом виде. Владея в совершенстве знаниями разных разделов математики, он умел находить и строить неожиданные аналогии и тем самым эффективно использовать как имеющийся математический аппарат, так и создавать новый. Следует особенно подчеркнуть, что, казалось бы, абстрактные работы Мстислава Всеволодовича, например, по глубоко разработанной им теории несамосопряженных операторов, исходят из конкретных прикладных задач, в том числе по колебаниям конструкций с диссипацией энергии.

Работы М.В.Келдыша по математике и механике середины 40-х годов получили признание коллег и ученых, а их автору принесли известность в научном мире. В 1943 г М.В.Келдыш избирается членом-корреспондентом АН СССР, а в 1946 действительным членом Академии.

Со второй половины сороковых годов характер деятельности М.В.Келдыша существенно меняется. На первый план выходит научно-организационный аспект. "Вскоре после войны, - вспоминал академик И.М.Виноградов, директор МИАН, - пришли ко мне Ю.Б.Харитон и другие физики. Просили порекомедовать математика, который бы мог поставить расчеты по атомной тематике. Я им сказал взять Келдыша, он в любом приложении математики способен разобраться лучше всякого. Келдыш им понравился."

Овладение атомной энергией в те годы связывалось, в первую очередь, с проблемой создания оружия. Задачи, которые здесь требовалось решить, были по сложности беспрецедентными, с такими человечество еще не имело дела. Трудности усугублялись еще и крайне ограниченными сведениями по физике самих явлений, сопровождающих протекание ядерных процессов. Поэтому важным методом познания явлений было построение физико-математических моделей и последующее их воспроизведение в расчетах.

В 1949 году были развернуты пионерские исследования по ракетодинамике и прикладной небесной механике (механике космического полета), оказавшие существенное влияние на развитие ракетной и космической техники. В 1953 г. здесь были предложены и проанализированы оптимальные схемы составных ракет; баллистический спуск космического аппарата с орбиты и показана возможность его использования для возвращения космонавтов; возможная стабилизация аппарата посредством использования поля земного тяготения и многие другие идеи.

В 1954 г. М.В.Келдышем, С.П.Королевым и М.К.Тихонравовым было представлено письмо в Правительство с предложением о создании искусственного спутника Земли (ИСЗ). 30 января 1956 г. М.В.Келдыш был назначен председателем специальной комиссии Академии наук по ИСЗ.

После запуска в 1957 г. первого ИСЗ начинается новый этап в освоении космического пространства. В ОПМ МИАН под руководством Келдыша разворачиваются работы по слежению за ИСЗ и прогнозированию его траектории, по баллистическому проектированию межпланетных полетов космических аппаратов (КА) с минимальными затратами энергии и др. Примерами блестящих решений служат: найденная схема разгона КА с использованием выхода на промежуточную орбиту искусственного спутника, использование гравитационного поля планеты для целенаправленного изменения траектории движения. Эти решения оказались принципиальными для проектирования всех последующих перелетов.

Для решения атомной проблемы и ракетно-космических задач были необходимых вычисления, которые практически были недоступны для имевшихся в то время вычислительных средств. Новые вычислительные средства - электронные вычислительные машины (ЭВМ), предстояло и создать, и освоить. Это была задача государственной важности, - первостепенная в решении проблемы овладения атомной энергией. М.В.Келдыш сам не занимался конструированием ЭВМ, но выступал заказчиком этой техники и первым ее крупным потребителем. Руководимый им институт должен был создавать методы расчета и на их основе решать на ЭВМ всю совокупность задач, подпадающих под атомную проблематику. Заметим, что те же вычислительные машины использовались коллективом Келдыша и для расчетов по ракетной и космической тематике. Вся эта огромная, впервые проводившаяся работа по созданию методов расчета и реализации их на ЭВМ стала основой нового направления в математике, оформившегося сегодня в ее самостоятельный раздел - вычислительную и прикладную математику.

Признанием заслуг ученого в решении оборонной проблемы явилось присвоение М.В.Келдышу в 1956 г. звания Героя Социалистического Труда, а в 1957 г. присуждение Ленинской премии. В 1961 г. за особые заслуги в развитии ракетной техники, в создании и успешном запуске первого в мире космического корабля "Восток" с человеком на борту М.В.Келдышу звание Героя Социалистического Труда было присвоено вторично. В 1971 г. за исключительные заслуги перед государством в развитии советской науки и техники, большую научную и общественную деятельность и в связи с шестидесятилетием М.В.Келдыш был удостоен в третий раз звания Героя Социалистического Труда и золотой медали "Серп и молот". Награжден золотой медалью им. К.Э.Циолковского за выдающийся вклад в научную разработку проблем изучения и освоения космического пространства (1972 г.); золотой медалью им. М.В.Ломоносова за выдающиеся достижения в области математики, механики и космических исследований (1975 г.).

Имя Мстислава Всеволодовича Келдыша увековечено в названиях научно-исследовательского судна, малой планеты солнечной системы, кратера на Луне, площади в Москве. Его имя носят бывший НИИ-1 (ныне Исследовательский центр им.М.В.Келдыша) и созданный им Институт прикладной математики. Ему установлены памятники-бюсты на Аллее героев и Миусской площади в Москве, в Риге; памятные доски на зданиях, где он жил и работал. Золотая медаль им. М.В.Келдыша, учрежденная Академией наук СССР, вручается за выдающиеся научные работы в прикладной математике и механике и теоретических исследованиях по освоению космического пространства.

Из опыта работы с учащимися 6 класса.

Рисуем по координатам

(рисунки выполнены в программе «Живая геометрия»

1 .«НОСОРОГ»

Туловище

(9;0); (13;2); (16;2) ; (19;4) ; (19;6) ;(17;8); (17;6); (16;6); (15;8); (15;6);(13;8) ; (11;8); (9;10) ; (9;8); (3;6) ;(-5;6) ; (-7;4);(-7;-6);(-2; -6) (-2;-2);(5;-2);(5;-6); (10;-6); (9;0)

2.«ТОБИК»

(0;-8); (3;-8); (1;-1); (4; -3); (4;-4);(8; -3); (8;2);(7;2), (7;1); (5;3); (6;4); (5;3);(6;4); (4;5);(3;8); (2;6); (1;8);(-1;-1); (-6;-1); (-9;2); (-8; -1);(-8;-8);(-5; -4); (-1;-5); (0;-8)

3. «БАГИРА»

Линия 1 .(0;-8); (1;-6); (1; -2); (2; -10); (4; -10);(3; -10); (3,5; -4); (4; -9);

(5; -10); (6;-9); (5; -8); (5;-5); (6;0);(6;4);(1;10); (-2;10); (-5; 8); (-4; 8); (-6;7); (-4;7); (-4;6); (-3; 5); (-2;3); (-1;5); (0;4); (-2;2); (-4; -1); (-6; -2);

(-7;-7); (-12;-7); (-13; -10); (-8; -11); (-4; -11); (-5; -10); (-8; -10);(-11;-9)

(-11; -8);(-7; -8); (-4; -10); (0;-10); (1;-9);(0;-8)

Глаз :(-3;6); (-2; 7) Усы : 1)(-2;4); (-4;3). 2)(-2;4);(-4;2). 3)(-2;4);(-3;2)

Сделано в масштабе 1:2

4. «Колокольчик».

Линия 1. (3; -5,5); (3;-3); (1,5;-1,5); (3; -5,5); (4,5; -1,5); (3;-3); (3;3,5); (1,5;2,5); (0,5;0); (1; 0,5); (1,5; 0); (2; 0,5); (2,5;0); (1,5; 2,5)

Линия 2. (3;1,5); (4,5;3); (3,5; 0,5) ; (4;1); (4,5;0,5); (5;1); (5,5; 0,5); (4,5;3)

5. « Бабочка»

Линия 1. (0,5; 3); (1,5;1,5); (1,5;-1); (2; -1); (2; 1,5); (3;3);

Линия 2. (1,5;1); (-1;3); (-1,5; 1); (1,5;0,5);

Линия 3. (1,5;-0,5); (-1,5; -1,5); (-1,5; 1) ;

Линия 4. (2;1); (4,5; 3); (5; 1) ; (5;-1,5) ; (2;-0,5); (2; 1,5);

6. «Птица»

Линия 1. (-1,5; -1,5); (-2;- 1); (-2,5;-1);

Линия 2. (-2; - 1,5); (-2;-1); (1; 1); (3; 0); (2;3); (2,5;5); (2;6);(1;6); (2;6,5); (1;7); (2;7);(3;8); (3,5;7); (3;5,5); (4;3,5);(4,5;1) (3,5;1,5); (3;0); (3;-5); (2,5;-4,5)

Линия 3. (3;-5); (2,5; -5);

Линия 4. (3;-5); (2,5; -5,5); Глаз: (2,5;7)

7. «Парусник»

Линия 1. (1; 1); (10,5; 1); (7;-3); (-5;-3); (-8,5;1); (1;1); (1;8); (-3;3);(1;3)

Линия 2. (1; 7); (5; 2); (1; 2);

Линия 3. (-4;-2);(-3,5;-1,5); (-3 ;-2); (-2;-0,5);

Линия 4. (-1,5;-0,5); (-0,5; -0,5); (-0,5;-1); (-1,5;-2);

Линия 5. (0,5;-0,5); (1,5; -0,5); (1,5;-1); (0,5;-2)

Линия 6. (2 ;-0,5); (3; -0,5); (3;-1); (2;-2)

8.КРЕЙСЕР «АВРОРА»

(0;0), (1; -1), (1;-2), (2; -2) , (2;3), (4; 3), (4; -2) , (5; -2) ,(5;0), (6; -1), (6;-2), (7; -2), (7;2), (9;2), (9; -2), (11; -2),(11; 5), (12;5), (12;- 3), (14; -4), (14; - 6), (-15; -6), (-13; -1),

(-13;-2), (-7; -2), (-8; 0), (-7; 2), (-6; 2), (-6; 7), (-5; 7),(-5; -2), (-3; -2), (-3; 4), (-1;4), (-1; -2), (0; -2),(0;0)

9. « Гном».

Линия 1. (-3; -1) ; (-2; 0); (-1; 2,5); (-2;3); (-2; 4); (-1; 5) ; (1; 5); (2; 4);

(2; 3); (1; 2,5); (2; 0); (3; -1); (1; -1); (1; 0); (0; 2); (-1; 0); (-1; -1);

Линия 2.(0; 5); (-1; 6); (-1; 7,5); (-2; 7); (-1; 8,5); (0; 8,5); (1; 7,5);

Линия 3.(-1; 7); (1; 7).

Линия 4.(-1; 2,5); (-1; 4,5).

Линия 5.(1; 2,5); (1; 4,5).

Глаза: (-0,5;5,5); (0,5;5,5); Нос: (0;6)

10. «Жеребёнок».

Линия 1. (-8; 7); (-7; 6); (-4; 4); (- 1; 2); (7; 2); (8; 1); (7; -3); (6; 1); (5; -2); (7; -4); (6; -8); (5; -8); (6; -4); (5; -3); (5; -4); (4; -8); (3; -8); (4; -4); (3; -1); (1; -2); (-1; -2); (0; -5); (-1; -8); (-2; -8); (-1; -5); (-2; -3); (-2; -4); (-3; -8); (-4; -8); (-3; -3); (-5; -1); (-4; 0); (-6; 3); (-9; 2); (-10; 3); (-7; 6).

2.Глаз (-7; 4).

11. «Чебурашка»

12. «Волк»

13 .«Кленовый лист»

Линия 1. (4,5; -0,5) ; (4; -0,5); (4,5; 1); (3;0,5); (4; 3); (3; 3) ; (2,5; 4); (2,5; 5); (1,5;4,5); (1;5); (0;3); (-2;5); (-3,5;4); (-3,5;3);(-4; 3); (-6; 2,8); (-5; 1); (-6; 0);

(-7; -1); (-5,5; -1); (-5; -2); (-3; -2); (-4; -3); (-2; -3); (0;-2,3); (3;-3); (2,5;-2);

Линия 2.(0,5; -2); (2,5; 0,5);

Линия 3 (0;-1); (-1,5;2)

Линия 4.(-1,5; 0,5); (-3;1,5)

Линия 5. (1;-6); (-0,5; - 2,5)

14.Лев.

Линия 1 (3; 1); (3; -1,5); (2; -1,5); (2; -2,5); (4; -2,5); (4; 1); (5; 1); (5; 4);

(6; 1,5); (5,5; 1); (7; 0,5); (6,5; 2); (6; 1,5).

Линия 2. (5; 4); (-2,5; 4); (-2; 3,5); (-2,5; 3); (-2; 2,5); (-2,5; 2); (-2; 1,5); (-2,5; 1); (-2; 0,5); (-2,5; 0); (-3; 0,5); (-3,5; 0) (-4; 0,5); (-4,5; 0); (-5; 0,5); (-5,5; 0); (-6; 0,5); (-6,5; 0); (-7; 0,5); (-6,5; 1); (-7; 1,5); (-6,5; 2); (-7; 2,5); (-6,5; 3); (-7; 3,5); (-6,5; 4); (-7; 4,5); (-6,5; 5); (-6; 4,5); (-5,5; 5); (-5; 4,5); (-4,5; 5); (-4; 4,5); (-3,5; 5); (-3; 4,5); (-2,5; 5); (-2; 4,5); (-2,5; 4).

Линия 3 (-2,5; 0); (-2,5; -1,5); (-3,5; -1,5); (-3,5; -2,5); (-1,5; -2,5); (-1,5; 1).

Линия 4 (-5; 3,5); (-5,5; 4,5); (-5,5; 1,5); (-3,5; 1,5); (-3,5; 4,5); (-4; 3,5).

Линия 5 (-5,5; 2,5); (-4,5; 2); (-4;2,5)

Линия 6 (-4,5; 3); (-4,5; 2,5).

Линия 7 (-2,5; 1); (4; 1).

Глаза (-5; 3); (-4; 3).

15. «САБЛЕЗУБЫЙ ТИГР»